Münze, Karton < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Fr 11.11.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Eine Münze mit Rasius r werden in einen Karton mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge 8r geworfen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit darür, dass nach dem Wurf der Mittelpunkt der Grundfläche durch die Münze bedeckt wird.
Präzisieren Sie ggf. für die Berechnung notwendige Annahmen.
Welche Probleme ergeben sich beim Versuch, dieses Zufallsexperiment durch die Angabe einer Ergebnismenge, Ereignismenge und Wahrscheinlichkeitsverteilung zu beschreiben? |
viiiiiel Text... und im ersten Moment hab ich nur "hä?" gedacht.
ich hab mal versucht ein bisschen zu systematisieren, aber mein Ergebnis erscheint mir falsch....
sei A das Ereignis: "Die Münze liegt auf dem Mittelpunkt der Grundfläche"
es gilt: [mm]P(A) = 1 - P(A^c ) [/mm]
hier hat man dann das Problem, dass der Ereignisraum (Menge aller möglichen Positionen der Münze auf der Grundfläche) unendlich (?) und auch der Ergebnisraum (Positionen bei denen die Münze dem Mittelpunkt bedeckt) rieeeesig ist.
also hab ich mir überlegt, dass man vielleicht die Fläche betrachtet, die günstig ist und die Fläche die möglich ist.
mögliche Fläche ist die gesamte Grundfläche: [mm](8r)^2 = 64r^2 [/mm]
die günstige Fläche müsste ein Kreis mit Radius 2r um den Mittelpunkt sein: [mm]2 \pi (2r)^2 = 8 \pi r^2 [/mm]
dann wäre ja schon [mm]P(A) = \bruch{8 \pi r^2 }{64 r^2} = \bruch
{\pi}{r} \approx 0,39 [/mm]
das ergebnis erscheint mit irgendwie zu hoch...
was hab ich nicht bedacht?
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> Eine Münze mit Radius r wird in einen Karton mit
> quadratischer Grundfläche der Seitenlänge 8r geworfen.
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach dem
> Wurf der Mittelpunkt der Grundfläche durch die Münze
> bedeckt wird.
> Präzisieren Sie ggf. für die Berechnung notwendige
> Annahmen.
> Welche Probleme ergeben sich beim Versuch, dieses
> Zufallsexperiment durch die Angabe einer Ergebnismenge,
> Ereignismenge und Wahrscheinlichkeitsverteilung zu
> beschreiben?
> sei A das Ereignis: "Die Münze liegt auf dem Mittelpunkt
> der Grundfläche"
>
> es gilt: [mm]P(A) = 1 - P(A^c )[/mm]
>
> hier hat man dann das Problem, dass der Ereignisraum (Menge
> aller möglichen Positionen der Münze auf der
> Grundfläche) unendlich (?) und auch der Ergebnisraum
> (Positionen bei denen die Münze dem Mittelpunkt bedeckt)
> rieeeesig ist.
Ja, ebenfalls unendlich ... doch kann man dann nicht etwa
schließen, dass [mm] P(A)=\frac{unendlich}{unendlich}=1 [/mm] ...
> also hab ich mir überlegt, dass man vielleicht die Fläche
> betrachtet, die günstig ist und die Fläche die möglich
> ist.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau so macht man es - wobei man eine
geometrische Form der Gleichverteilung voraussetzen muss.
> mögliche Fläche ist die gesamte Grundfläche: [mm](8r)^2 = 64r^2[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Zur Beschreibung der Lage der Münzen brauchst du die
Position ihres Mittelpunktes. Beachte, dass die Münze in
eine Schachtel geworfen wird und darum ihr Mittelpunkt
dem Schachtelrand nicht beliebig nahe kommen kann !
> die günstige Fläche müsste ein Kreis mit Radius 2r um
> den Mittelpunkt sein: [mm]2 \pi (2r)^2 = 8 \pi r^2[/mm]
(es geht auch wieder um die günstigen Positionen für
den Münzenmittelpunkt !
> dann wäre ja schon [mm]P(A) = \bruch{8 \pi r^2 }{64 r^2} = \bruch
{\pi}{r} \approx 0,39[/mm]
>
> das ergebnis erscheint mit irgendwie zu hoch...
da ist dein Bauchgefühl richtig !
> was hab ich nicht bedacht?
siehe meine obigen Bemerkungen !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 11.11.2011 | | Autor: | ella87 |
okay, ich betrachte also nach jedem Wurf wo der Münzmittelpunkt liegt.
dann kann der Münzmittelpunkt auf einer Fläche von [mm](6r)^2 [/mm] liegen, weil er immer mindestens r vom Rand weg ist.
die günstige Fläche liegt in einem Kreis mit Radius r um den Mittelpunkt der Schachtel, hat also eine Fläche von [mm]\pi r^2 [/mm].
geometrisch gleichverteilt heißt hier doch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelpunkt der Münze an einer Stelle landet für die gesamte Fläche gleicht ist, oder?
also kann ich dann
[mm]\bruch{#guenstige Flaeche}{#moegliche Flaeche} = \bruch{\pi r^2}{36r^2 } \approx 0,087 [/mm] als Wahrscheinlichkeit angeben, dass die Münze den Mittelpunkt der Schachtel bedeckt, oder?
die Zahl gefällt mir besser 
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> okay, ich betrachte also nach jedem Wurf wo der
> Münzmittelpunkt liegt.
>
> dann kann der Münzmittelpunkt auf einer Fläche von [mm](6r)^2[/mm]
> liegen, weil er immer mindestens r vom Rand weg ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> die günstige Fläche liegt in einem Kreis mit Radius r um
> den Mittelpunkt der Schachtel, hat also eine Fläche von
> [mm]\pi r^2 [/mm].
>
> geometrisch gleichverteilt heißt hier doch, dass die
> Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelpunkt der Münze an
> einer Stelle landet für die gesamte Fläche gleicht ist,
> oder?
Das müsste man etwas anders formulieren, denn die
Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelpunkt an einer ganz
bestimmten Stelle (x,y) landet, ist ohnehin für jedes
Zahlenpaar [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] immer gleich 0.
Man kann also eigentlich nur verlangen, dass die W'keit,
dass M in einem bestimmten Gebiet G landet, propor-
tional zum Flächeninhalt von G ist.
> also kann ich dann
> [mm]\bruch{#guenstige Flaeche}{#moegliche Flaeche} = \bruch{\pi r^2}{36r^2 } \approx 0,087[/mm]
> als Wahrscheinlichkeit angeben, dass die Münze den
> Mittelpunkt der Schachtel bedeckt, oder?
>
> die Zahl gefällt mir besser
das sollte auch stimmen
LG Al-Chw.
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