Münzenwurf < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 So 24.04.2016 | | Autor: | arraneo |
Hallo zusammen, hier ist meine erste WT 1 Aufgabe womit ich nicht zurecht komme, bitte sehr um Hilfe dabei:
Eine Münze wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal Zahl (Z) erscheint. Für n ∈N sei [mm] A_n [/mm] das Ereignis, dass genau beim n-ten Wurf erstmalig Z erscheint. Außerdem bezeichne [mm] B_m [/mm] das Ereignis ” Z fällt nicht unter den ersten m Würfen“, für jedes m ∈N.
a) Drücken Sie für m ∈N das Ereignis [mm] B_m [/mm] durch die Ereignisse [mm] A_n [/mm] aus.
b) Berechnen Sie unter der Annahme, dass [mm] P(A_n) [/mm] = [mm] 2^{-n} [/mm] gilt (d.h. dass es sich um eine faire Münze handelt), die Wahrscheinlichkeit [mm] P(B_m) [/mm] für jedes m ∈N.
c) Drücken Sie das Ereignis B := ” Z fällt nie“ durch die Ereignisse [mm] B_m [/mm] aus und bestimmen Sie damit P(B). Hinweis: Verwenden Sie die Stetigkeit von P.
d) Drücken Sie B direkt durch die Ereignisse An aus und bestimmen Sie damit P(B).
Lösung(?) :
a) [mm] \omega=\{K,Z\}^n [/mm] , mit K=Kopf und Z=Zahl, dann ist
[mm] A_n:=\{w=(w_1,w_2,...)| w_1=w_2=...=w_{n-1}=K,w_n=Z\} [/mm] , mit [mm] w_i\in\omega [/mm] , [mm] i=\{1,...,n\} [/mm] und
[mm] B_m:=\{w=(w_1,w_2,...) | w_i=K ,\ \forall \ \ i\in\{1,...,m\} \} [/mm]
Dann ist aber
[mm] B_m=\bigcup_nA_n [/mm] - [mm] \bigcup_{1\le i\le n}A_{n_i}, [/mm] wobei [mm] A_{n_i}=\{w_{n_i} | w_{n_i}=Z \ \forall \ i\in\{1,...,n\} \} [/mm]
*) Es soll heißen, [mm] B_m [/mm] besteht aus allen Ereignissen [mm] A_n, [/mm] halt ohne diejenigen wo es Zahl vorkommt, also genau der n_ten Wurf von jedem Ereignis [mm] A_n, [/mm] für alle n. Dabei habe ich aber wirklich keine Ahnung ob das jetzt formell so aussehen sollte, oder darüberhinaus genauer aussehen sollte, oder oder.. :/
Ich warte und freue mich auf Korrekturen, bzw. Ideen bevor ich jetzt die nächsten Unterpunkten weiter mache.
Vielen Dank im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Mo 25.04.2016 | | Autor: | luis52 |
> [mm]B_m=\bigcup_nA_n[/mm] - [mm]\bigcup_{1\le i\le n}A_{n_i},[/mm] wobei [mm]A_{n_i}=\{w_{n_i} | w_{n_i}=Z \ \forall \ i\in\{1,...,n\} \}[/mm]
Moin, das ist mir unklar. Worueber erstreckt sich der Laufindex $n$ in der ersten Vereinigungsmenge? Was ist [mm] $A_{n_n}$ [/mm] in der zweiten Vereinigungsmenge?
Was haeltst du von [mm]B_m=\bigcup_{n=m+1}^\infty A_n[/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Mo 25.04.2016 | | Autor: | arraneo |
Hey danke für die Antwort!
Inzwischen weiß ich auch dass deine Antwort ja die Lösung ist, dabei ist mir aber immer noch nicht 100%ig klar warum das so ist, nämlich mein guter Kommilitone könnte mir das nicht erklären. .
Ich verstehe offensichtlich die Voraussetzung gar nicht so richtig.. [mm] A_n [/mm] ist das Ereignis, dass genau beim n-ten Wurf erstmalig Z erscheint, dagegen [mm] B_m [/mm] das Ereignis wo Z eigentlich nie unter den ersten m Würfen fällt.
Achso, es heißt also dass erst ab m+1 könnte Zahl fallen, womit ich gar nicht gerechnet hab, irgendwie.. ok, aber immerhin vielen Dank für die Antwort! jetzt habe ich es endlich verstanden! :))
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 25.04.2016 | | Autor: | arraneo |
b) Berechnen Sie unter der Annahme, dass [mm] P(A_n)=2^{-n} [/mm] gilt, die Wahrscheinlichkeit [mm] P(B_m). [/mm]
Nach a) ist also [mm] P(B_m)=P(\bigcup_{n\ge m+1}A_n) [/mm] , dabei gilt aber [mm] A_l\capA_k=\emptyset, [/mm] für alle [mm] k\not=l, [/mm] denn Z kann nur ein Mal erstmalig fallen.
Dann gilt weiterhin:
[mm] P(B_m)=\summe_{n=m+1}^{\infty}P(a_N) =\summe_{n=m+1}^{\infty}2^{-n} =\summe_{n=m+1}^{\infty} \frac{1}{2^n}= \frac{1}{2^{m}}
[/mm]
danke!! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mo 25.04.2016 | | Autor: | luis52 |
> b) Berechnen Sie unter der Annahme, dass [mm]P(A_n)=2^{-n}[/mm]
> gilt, die Wahrscheinlichkeit [mm]P(B_m).[/mm]
>
> Nach a) ist also [mm]P(B_m)=P(\bigcup_{n\ge m+1}A_n)[/mm] , dabei
> gilt aber [mm]A_l\capA_k=\emptyset,[/mm] für alle [mm]k\not=l,[/mm] denn Z
> kann nur ein Mal erstmalig fallen.
>
> Dann gilt weiterhin:
> [mm]P(B_m)=\summe_{n=m+1}^{\infty}P(a_N) =\summe_{n=m+1}^{\infty}2^{-n} =\summe_{n=m+1}^{\infty} \frac{1}{2^n}= \frac{1}{2^{m+1}}[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $P(B_m)=\summe_{n=m+1}^{\infty}P(\red{A_n}) [/mm] $
>
> Dabei bin ich mir aber gar nicht sicher ob ich die
> geometrische Reihe richtig angewandt habe. . :?
>
> Könnte mir bitte jemanden sagen, ob das so stimmt?
Leider nicht: [mm] $P(B_m)=\frac{1}{2^m}$. [/mm] Mach die Probe mit $m=1$ ...
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