Münzwurf, bedingte W.keit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | Eine Urne enthält zwei Münzen, eine mit Erfolgswahrscheinlichkeit [mm] p_1 [/mm] und
eine mit Erfolgswahrscheinlichkeit [mm] p_2 \not= p_1. [/mm] Wir ziehen zufällig eine dieser
Münzen und werfen N Mal. Als Wahrscheinlichkeitsraum wählen wir [mm] \Omega [/mm] = { [mm] (k,x_1,...,x_N): [/mm] k [mm] \in [/mm] { 1,2 }, [mm] x_i \in [/mm] { 0,1 } }.
[mm] \omega [/mm] = [mm] (k,x_1,...,x_N) [/mm] bedeutet "die k-te Münze wird gezogen und die Ereignise [mm] x_1,...,x_N [/mm] erzielt".
Die Gewichte legen wir also fest durch:
[mm] p(\omega) [/mm] = 1/2 * [mm] p_1^{\summe_{i}x_i}(1-p_1)^{N-\summe_{i}x_i} [/mm] für k = 1
[mm] p(\omega) [/mm] = 1/2 * [mm] p_2^{\summe_{i}x_i}(1-p_2)^{N-\summe_{i}x_i} [/mm] für k = 2
Sei weiter [mm] A_i, [/mm] das Ereignis "beim i-ten Wurf eine 1".
a) Berechnen sie [mm] P[A_1 \cap...\cap A_j]für [/mm] 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] N.
Hinweis: Aufgrund der Gewcihte sind [mm] A_i [/mm] gegeben k unabhängig.
b)Berechnen Sie mit der Formel von Bayes:
P[1. Münze gezogen | [mm] A_1 \cap...\cap A_N [/mm] ] und bilden Sie den Grenzwert für N -> [mm] \infty [/mm] |
Hey, ich blicke ehrlich gesagt in Stochastik noch nicht so 100%ig durch, so häng ich auch an der Aufgabe..
in a) soll ich ja die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die ersten j Würfe eine 1 sind, ist dass dann einfach 1/2 * [mm] p_1^j [/mm] +1/2 * [mm] p_2^j? [/mm] Das kommt mir zu einfach vor.. Was müsste ich hier noch anderes beachten?
bei der b) hab ich mir folgendes gedacht:
P[1. Münze gezogen | [mm] A_1 \cap...\cap A_N [/mm] ] = [mm] \bruch{P[A_1 \cap...\cap A_N | 1. Muenze]* P[1.Muenze]}{P[A_1 \cap...\cap A_N | 1. Muenze]* P[1.Muenze]+ P[A_1 \cap...\cap A_N | 2. Muenze]* P[2.Muenze]}
[/mm]
= [mm] \bruch{1/2 *p_1^N}{1/2*p_1^N+1/2*p_2^N}= \bruch{p_1^N}{p_1^N+p_2^N} [/mm] ->1, N-> [mm] \infty
[/mm]
Das wäre meine Lösung, aber ich bin mir total unsicher und weiß nicht, ob ich nicht was ganz wichtiges vergessen habe.. Vielleicht kann es sich ja mal jemand durchlesen und mir antworten. Würd mich freuen!
Viele Grüße,
Damn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo Damn,
m.E. ist die Aufgabenstellung falsch. Nimm an, es ist $N=1$. Dann ist
[mm] $\Omega=\{(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)\}$. [/mm] Weiter ist
[mm] $P(\{(1,0)\})=1/2+(1-p_1)$ [/mm] und [mm] $P(\{(1,1)\})=1/2+p_1$, [/mm] so dass
[mm] $P(\{(1,0),(1,1)\})=2$. [/mm]
Heisst es vielleicht
$ [mm] p(\omega) [/mm] $ = $ [mm] p_1^{\summe_{i}x_i}(1-p_1)^{N-\summe_{i}x_i}/2 [/mm] $ für k = 1
$ [mm] p(\omega) [/mm] $ = $ [mm] p_2^{\summe_{i}x_i}(1-p_2)^{N-\summe_{i}x_i}/2 [/mm] $ für k = 2
?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Damn88 |
Ohje, ohje, ein fataler Tippfehler. Entschuldigung!!
Ich habs direkt mal editiert..
Und was ist mit meiner Lösung? Kann man das so machen oder totaler Blödsinn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
e..
>
> in a) soll ich ja die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass
> die ersten j Würfe eine 1 sind, ist dass dann einfach 1/2
> * [mm]p_1^j[/mm] +1/2 * [mm]p_2^j?[/mm] Das kommt mir zu einfach vor.. Was
> müsste ich hier noch anderes beachten?
Das Ergebnis ist richtig, aber ich kann nicht nachvollziehen, wie du
darauf kommst.
>
> bei der b) hab ich mir folgendes gedacht:
>
> P[1. Münze gezogen | [mm]A_1 \cap...\cap A_N[/mm] ] = [mm]\bruch{P[A_1 \cap...\cap A_N | 1. Muenze]* P[1.Muenze]}{P[A_1 \cap...\cap A_N | 1. Muenze]* P[1.Muenze]+ P[A_1 \cap...\cap A_N | 2. Muenze]* P[2.Muenze]}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1/2 *p_1^N}{1/2*p_1^N+1/2*p_2^N}= \bruch{p_1^N}{p_1^N+p_2^N} ->1, N->\infty[/mm]
Manchmal stimmt das.
vg Luis
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