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| Aufgabe | Berechne zu einigen Ringelementen die multiplikativen Inversen und beweise andernfalls, dass es keine multiplikativen Inversen zu den Elementen gibt.
Bsp.: [mm] [30]_{168} [/mm] aus [mm] Z_{168} [/mm] |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe nur eine ganz kurze Frage, ich denke, sie ist in weniger als einer Minute beantwortet ;)
Ich habe mit dem euklidschen Algorithmus herausgefunden, dass der ggT(30,168)=6 ist.
Reicht das als Beweis, wenn ich sage, dass der ggT != 1 ist und deshalb kein Inverses definiert ist? (In den anderen Fällen habe ich das "normale" Verfahren mit dem erw. Eukl. Algorithmus benutzt). Oder was würdet ihr tun?
Jetzt schonmal vielen Dank und viele Grüße!
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So ganz explizit haben wir das nicht bewiesen, aber wir haben mal gezeigt, dass man mit dem erweiterten Euklidschen Algorithmus auf das Inverse kommt.
Ich hab mir das nochmal angeguckt, und nochmal den Beweis so ähnlich rekonstruiert. Vielleicht kannst du mal drübergucken ;)
Also, ich würde das über einen Widerspruchsbeweis machen. Ich nehme an, [mm] [p]_{n} [/mm] hat ein Inverses [mm] [p']_{n} [/mm] und trotzdem ist der ggT(p,n)>1. Dadurch müssen wir irgendwann auf einen Widerspruch kommen.
Dann geh ich ähnlich vor wie bei unserem Beweis aus der Vorlesung, und sage, dass gilt:
(es existiert ein q, sodass gilt:)
p * p' = q*n + 1
da ja q*n in der Restklasse betrachtet immer gleich 0 ist, ist das praktisch nur eine Umschreibung von p*p' = 1. Daraus haben wir dann gefolgert, dass der ggT(p,n) = 1 sein muss.
Jetzt bin ich mir unsicher:
Warum darf man das einfach so behaupten? Kann ich das hier auch einfach so sagen und damit schlussfolgern, dass ein Widerspruch entsteht und der ggT(p,n)=1 sein muss und die Annahme von oben falsch war?
Ich habe mich übrigens wirklich sehr gefreut, dass du so schnell und freundlich geantwortet hast! =) Man fühlt sich direkt wohl in diesem Forum!! Vielen Dank nochmal!
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Hallo nochmal,
es geht oft schnell in diesem Forum, aber jetzt liegt Dein Beweisvorschlag doch schon über drei Stunden unbeantwortet hier. Man weiß halt, wann jemand vorbeikommt, den die Frage interessiert und der sie beantworten kann.
> So ganz explizit haben wir das nicht bewiesen, aber wir
> haben mal gezeigt, dass man mit dem erweiterten Euklidschen
> Algorithmus auf das Inverse kommt.
Ja, schon, aber den brauchst Du doch im folgenden eigentlich gar nicht.
> Ich hab mir das nochmal angeguckt, und nochmal den Beweis
> so ähnlich rekonstruiert. Vielleicht kannst du mal
> drübergucken ;)
> Also, ich würde das über einen Widerspruchsbeweis
> machen. Ich nehme an, [mm][p]_{n}[/mm] hat ein Inverses [mm][p']_{n}[/mm] und
> trotzdem ist der ggT(p,n)>1. Dadurch müssen wir irgendwann
> auf einen Widerspruch kommen.
Ja, dann wäre der Beweis geführt.
> Dann geh ich ähnlich vor wie bei unserem Beweis aus der
> Vorlesung, und sage, dass gilt:
>
> (es existiert ein q, sodass gilt:)
> p * p' = q*n + 1
>
> da ja q*n in der Restklasse betrachtet immer gleich 0 ist,
> ist das praktisch nur eine Umschreibung von p*p' = 1.
Richtig.
> Daraus haben wir dann gefolgert, dass der ggT(p,n) = 1 sein
> muss.
Stimmt zwar, aber...
Ach so, hier brauchst Du den erweiterten euklidischen Algorithmus natürlich implizit.
Wenn Du dessen Beweis voraussetzen darfst, dann reicht das so.
> Jetzt bin ich mir unsicher:
> Warum darf man das einfach so behaupten? Kann ich das hier
> auch einfach so sagen und damit schlussfolgern, dass ein
> Widerspruch entsteht und der ggT(p,n)=1 sein muss und die
> Annahme von oben falsch war?
Ja, das ist ok. Aus der Definition des Inversen [mm] [p']_n [/mm] folgt direkt, dass es teilerfremd zu [mm] [p]_n [/mm] sein muss.
> Ich habe mich übrigens wirklich sehr gefreut, dass du so
> schnell und freundlich geantwortet hast! =) Man fühlt sich
> direkt wohl in diesem Forum!! Vielen Dank nochmal!
Nette Rückmeldung. Nur haben wirs dann nicht genauso fortsetzen können.
Vielleicht nächstes Mal. 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Mo 22.11.2010 | | Autor: | mathecrack |
Ach, drei Stunden waren ja im Grunde auch noch toll!! =)
Ich danke dir! Hab jetzt auf jeden Fall die ganze Sache mit Inversen und so besser verstanden :)
Na dann.. Danke nochmal und bis zum nächsten Mal 
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Hätte man aber auch fast schon so sehen können. 