Multiple Choice < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:13 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Letzter Post diese Nacht^^
Kann das wer verifizieren?
1. Eine injektive Abbildung einer endlichen Menge X in sich ist stets eine Permutation von X.
Ja, solange die identische Abbildung auch als Permutation aufgefasst wird.
2. Eine Abbildung [mm] \phi [/mm] : V-->W zwischen K-Vektorräumen heißt linear, falls [mm] (av+bw)\phi=(a\phi)(v\phi)+(b\phi)(w\phi) [/mm] für alle a,b [mm] \in [/mm] K, v,w [mm] \in [/mm] V.
Nein, da die Abbildung nicht auf die Körperelemente wirken kann.
3. Sei [mm] \phi=\IR^{m} [/mm] --> [mm] \IR^{n} [/mm] eine lineare Abbildung. Dann gilt [mm] m\le [/mm] n.
Nein, das ist an den Haaren herbeigezogen.
4. Der Vektorraum [mm] \IR^{\IN} [/mm] aller reellen Folgen, besitzt Endomorphismen, die surjektiv, aber nicht injektiv sind.
Gefragt ist also nach einer Abbildung, die jeder reellen Folge eine reelle Folge zuordnet, sodass wieder alle reellen Folgen erreicht werden, aber jede Folge nur einmal.
Ich würde sagen, JA, möglich, wie wäre es zB. mit
[mm] a_{n} [/mm] |--> [mm] 2a_{n}?
[/mm]
Alle reellen Folgen werden erreicht, aber nur einmal.
5. Ist A das Produkt zweier reeller n x n - Matrizen mit negativen Determinanten, so hat A selbst eine positive Determinante!
Ja, gilt nach dem Determinanten-Multiplikationssatz!
Wahr oder falsch, mit Beweis!
1. f. jedes n [mm] \in \IN [/mm] und jedes [mm] \pi \in [/mm] Sym(n) hat [mm] \pi [/mm] höchstens n Fehlstände.
Falsch. Sei zB. A={1,2,3,4,5} und benutzt eine Permutation [mm] \pi, [/mm] sodass [mm] A\pi= [/mm] {5,4,3,2,1}, dann hat [mm] \pi [/mm] die Fehlstände (1,5), (1,4), (1,3), (1,2), (4,5), (4,3), (4,2), (4,1), also mehr als 5.
2. Sei [mm] \phi: [/mm] V-->V ein Isomorphismus des Vektorraums V.
Dann ist jeder Eigenvektor von [mm] \phi [/mm] auch ein Eigenvektor der Umkehrabbildung [mm] \phi^{-1}.
[/mm]
Ja: Sei v ein Eigenvektor von [mm] \phi, [/mm] also [mm] v\phi= [/mm] av mit Eigenwert a.
Mit w [mm] \phi\phi^{-1}=w [/mm] f.a. [mm] w\in [/mm] V folgt:
[mm] v\phi\phi^{-1}=av \phi^{-1} [/mm] =v.
<--> [mm] v\phi^{-1}= \bruch{1}{a} [/mm] v.
Die Behandlung des Nullvektors ist trivial (Isomorphismus hat nur den Nullvektor im Kern)
Gute Nacht zusammen :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:35 So 23.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
es ist fast alles richtig.
In #4 wird gerade nach nicht injektiven Abbildungen gefragt, du gibst aber eine bijektive an (und auch dein Text kann so interpretiert werden, dass du das Wort "nicht" überlesen hast).
Hinweis (eine absolute Weltpremiere) : aus Hilberts Hotel zieht ein Gast aus.
Unten in #2 gibst du (4,1) doppelt an, aber es sind trotzdem noch mehr als 5.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Hallo Sax,
Du hast Recht, da habe ich mich wohl verlesen.
Jetzt ist es doch nicht mehr so trivial. Ich würde in der Klausur trotzdem "ja" ankreuzen, mit der Begründung, dass die reellen Zahlen überabzählbar unendlich sind und es unendlich viele Endomorphismen zwischen reellen Folgen geben sollte --> "da wird es sicher eine entsprechende Funktion geben ;)"
Leider hilft mir Dein Tipp nicht sonderlich.
Wenn in Hilberts Hotel ein Gast auszieht, können alle bis zu seinem Zimmer ein Zimmer aufrücken, nur ab jenem Zimmer selbst nicht mehr.
Wenn es nicht um Folgen, sondern um Zahlen ginge, würde ich sowas sagen wie:
x |--> [mm] f(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } |x| \mbox{<20 } \\ x, & \mbox{für } |x| \mbox{ >= 20} \end{cases}
[/mm]
Aber keine Ahnung :D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 23.03.2014 | | Autor: | Sax |
hi,
Ich meinte die Folge [mm] (b_n)=f((a_n)) [/mm] definiert durch [mm] b_n=a_{n+1}
[/mm]
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Hallo Sax,
die Folge ist surjektiv.
Aber ist sie auch injektiv?
Dann muss es [mm] c_{n} [/mm] geben mit [mm] f(a_{n})=a_{n+1}=f(c_{n}) [/mm] für [mm] c_{n} [/mm] als reeller Folge [mm] \not= a_{n}.[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 So 23.03.2014 | | Autor: | fred97 |
[mm] f((a_n)):=(a_2,a_3,a_4,....)
[/mm]
Was ist f((1,0,0,0,0,0,0,....)) und was ist f(0,0,0,0,....) ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Beide gleich, weil die erste Ziffer nicht relevant ist!
Danke Euch!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 So 23.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Begründungen sind leider nicht ganz stimmig.
1.) Die Identität ist immer einer Permutation. Es steht außer Frage, ob man sie dazu zählt oder nicht, sie ist immer dabei, da sie immer auf der Menge selbst bleibt und bijektiv ist!
2.) Die Linearitätsbedingung lautet anders, nämlich [...]. [mm] \phi [/mm] kann schon auf die Elemente wirken, z.B. falls [mm] $K=V=W=\IR$ [/mm] und [mm] $\phi=id$ [/mm] ist.
3.) Stimmt. Aber kannst du ein einfaches Gegenbeispiel angeben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Hey,
1) Ok, weiß ich Bescheid
2) Linearitätsbedingung: f. [mm] v,w\in [/mm] V gilt: [mm] (av+w)\phi [/mm] = [mm] a(v\phi) +w\phi.
[/mm]
Meine Begründung lässt sich also umgehen, ihr Mathematiker wieder ;)
3) zB [mm] \phi: \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR: [/mm] (x,y) |--> x+y.
So?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 So 23.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Jo, sieht gut aus. :)
|
|
|
|
