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| Aufgabe | Sind folgende Aufgaben richtig oder falsch:
a) Die kleinste Untergruppe 1 [mm] \not= [/mm] U [mm] \le [/mm] G einer endlichen Gruppe G hat immer Primzahlordnung.
b) Ist U eine Untergruppe der Gruppe G, dann gibt es einen Epimorphismus G [mm] \to [/mm] U.
c) Für alle n [mm] \in \IN [/mm] hat die symmetrische Gruppe [mm] S_n [/mm] weniger Konjugationsklassen als die Gruppe S_(n+1).
d) Das Polynom [mm] x^4+x^2+1 \in \IZ_{2} [/mm] ist reduzibel.
e) Jeder Teilring eines faktoriellen Rings ist faktoriell.
f) Der Körper [mm] \IQ [/mm] besitzt für jedes n [mm] \in \IN [/mm] eine Erweiterung vom Grad n.
g) Das Polynom [mm] x^3+x^2-1 [/mm] ist modulo jeder Primzahl irreduzibel.
h) Jede reelle Grad-3-Erweiterung von [mm] \IQ [/mm] ist normal.
i) Für jede nicht-zyklische endliche Gruppe G existiert ein n<|G| mit [mm] g^n=1 [/mm] für alle g [mm] \in [/mm] G.
j) Das Polynom [mm] x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \in F_2[x] [/mm] ist irreduzibel.
k) Sei f [mm] \in K[x]\K [/mm] ein beliebiges reduzibles Polynom über einem beliebigen Körper K. Dann hat der Faktorring K[x]/<f> Nullteiler.
l) Das Polynom [mm] x^4+1 [/mm] ist über jedem Erweiterungskörper von [mm] F_2 [/mm] irreduzibel. |
Hallo,
hier mal meine Antwortversuche, sollen nur kurze Begründungen sein, kein Beweis verlangt.
a) Würde ich sagen ist richtig, kann ich aber nicht begründen.
b) Ist auch richtig, weil U nur Elemente besitzt, die Teiler von |G| sind.
c) Keine Ahnung.
d) Ist falsch, habs mit Koeffizientenvergleich gemach. Gibts auch ne schnellere und einfachere Lösung?
e) Würde ich sagen ist richtig.
f) Kann ich mir nicht vorstellen, dass jeder Grad erreicht wird. Also würde falsch sagen.
g) Falsch. Für x=2 gibt es eine Nullstelle mod 11.
h) Falsch z.b [mm] \IR[\wurzel[3]{2}] [/mm] hat Grad 3, ist aber nicht der Zerfällungskörper von [mm] x^3 [/mm] - 2 und somit nicht normal.
i) Würde falsch sagen, aber keine Erklärung dafür.
j) Weiß nicht wie ich bei solch einem Polynom, zeig das es irreduzibel ist oder nicht.
k) Keine Erklärung.
l) Würde falsch sagen. Weil komplexe Körper sind von [mm] F_2 [/mm] auch Erweiterungskörper, oder? Und somit hat liegen dort auch Nullstellen vom Polynom und somit ist es reduzibel.
Ich weiß sind schon einige Fragen, aber vll kann mir jemand trotzdem bei den Fragen helfen. Ein riesen Dankeschön schonmal. THX
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Sa 14.04.2012 | | Autor: | SEcki |
<f>> a) Würde ich sagen ist richtig, kann ich aber nicht
> begründen.
Versuche die Gegenannahme zum Widerspruch zu führen.
> b) Ist auch richtig, weil U nur Elemente besitzt, die
</f>> Teiler von |G| sind.
So als Tip: mit so einem Homomorphismus, ist der Kern immer Normalteiler.
<f>
> c) Keine Ahnung.
Was ist eine Konjugationsklasse? Kann man die eine in der anderen wieder finden? Was ist mit den Elementordnungen?
> d) Ist falsch, habs mit Koeffizientenvergleich gemach.
> Gibts auch ne schnellere und einfachere Lösung?
Sie ist schon extrem einfach.
> e) Würde ich sagen ist richtig.
Beweisidee?
> f) Kann ich mir nicht vorstellen, dass jeder Grad erreicht
> wird. Also würde falsch sagen.
Warum? Was ist mit n-ten Wurzeln?
> g) Falsch. Für x=2 gibt es eine Nullstelle mod 11.
Ja.
> h) Falsch z.b [mm]\IR[\wurzel[3]{2}][/mm] hat Grad 3, ist aber
> nicht der Zerfällungskörper von [mm]x^3[/mm] - 2 und somit nicht
> normal.
Ja.
> i) Würde falsch sagen, aber keine Erklärung dafür.
Semi-direkte Produkte.
> j) Weiß nicht wie ich bei solch einem Polynom, zeig das
> es irreduzibel ist oder nicht.
Substituiere mal [m]x\mapsto x+1[/m] und schau mal, ob dudamit weiterkommst.
> k) Keine Erklärung.
Vermutung? Was passiert mit den Teilern?
> l) Würde falsch sagen. Weil komplexe Körper sind von [mm]F_2[/mm]
> auch Erweiterungskörper, oder? Und somit hat liegen dort
> auch Nullstellen vom Polynom und somit ist es reduzibel.
Was sollen komplexe Körper sein? Kennst du den Zerfällungskörper?
SEcki
</f>
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Hallo,
danke für deine Mühe. Also mal schauen.
a) Weiß nicht wie ichs beweisen soll, vom Gefühl her ist es richtig.
b)ist also schon richtig?
c) Konjugationsklasse ist die Menge {gxg^(-1) | g [mm] \in [/mm] G} mit x [mm] \in [/mm] G. Kenn mich nicht so gut mit der symmetrischen Gruppe aus, aber S_(n+1) hat auf jeden Fall mehr Elemente. Dann würde ich auch sagen, dass sie auch mehr Konjugationsklassen hat.
e) weil sich immer noch jede Nichteinheit als Produkt von irreduziblen Elementen darstellen lässt.
f) OK stimmt, war blöd von mir. Dann ist es natürlich richtig.
i) Was meinst du damit? Wie erklärt man das mit semi-direkten Produkte?
j) Nee net wirklich. Nullstellen ergeben sich dadurch ja schon mal nicht in [mm] F_2 [/mm] ,oder?
k) Hab gelesen, dass die Elemente von K[x], die in <f> enthalten sind, im Faktorring 0 sind. Also gibt es Nullteiler, weil die erzeugten Polynome durch f in K[x] liegen.
l) Würd sagen die Nullstellen sind [mm] \wurzel{-1}, -\wurzel{-1}, \wurzel{-1}*c [/mm] und [mm] -\wurzel{-1}*c [/mm] mit c = exp((2*pi*i)/4). Dann ist der Zerfällungskörper über [mm] \IQ [/mm] dann [mm] \IQ(\wurzel{-1},c) [/mm] der Zerfällungsköper. Ist des so richtig? Somit ist dieses Polynom reduzibel.
Danke nochmals und würde mcih über eine weitere Antwort sehr freuen. THX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 15.04.2012 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin!
> danke für deine Mühe. Also mal schauen.
> a) Weiß nicht wie ichs beweisen soll, vom Gefühl her ist
> es richtig.
Da $U \neq 1$ gibt es ein $g \in U \setminus \{ 1 \}$. Betrachte die von $g$ erzeugte Untergruppe. Kann diese echt kleiner als $U$ sein?
Und dann betrachte die Ordnung von $g$. Wenn diese keine Primzahl ist, dann kannst du eine passende Potenz von $g$ betrachten, die eine kleinere Ordnung hat und nicht bereits gleich 1 ist. Was folgt daraus?
> b)ist also schon richtig?
Nein.
> c) Konjugationsklasse ist die Menge {gxg^(-1) | g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G}
> mit x [mm]\in[/mm] G. Kenn mich nicht so gut mit der symmetrischen
> Gruppe aus, aber S_(n+1) hat auf jeden Fall mehr Elemente.
> Dann würde ich auch sagen, dass sie auch mehr
> Konjugationsklassen hat.
Ueberleg dir folgendes:
1) sind $g, h [mm] \in S_n$, [/mm] so kannst du sie auch als Elemente in [mm] $S_{n+1}$ [/mm] auffassen.
2) sind $g, h [mm] \in S_n$ [/mm] in [mm] $S_{n+1}$ [/mm] konjugiert, so bereits in [mm] $S_n$.
[/mm]
3) das Element $(1, 2, ..., n+1)$ in [mm] $S_{n+1}$ [/mm] ist zu keinem Element in [mm] $S_n$ [/mm] konjugiert.
4) Was folgt aus 1)-3)?
> e) weil sich immer noch jede Nichteinheit als Produkt von
> irreduziblen Elementen darstellen lässt.
Tipp: jeder Koerper ist faktoriell. Und jeder Integritaetsbereich hat einen Quotientenkoerper, ist also ein Unterring davon.
Jetzt denk nochmal ueber die Aussage nach. Was folgt daraus, wenn sie stimmen wuerde?
> f) OK stimmt, war blöd von mir. Dann ist es natürlich
> richtig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> i) Was meinst du damit? Wie erklärt man das mit
> semi-direkten Produkte?
Einfacher: schau dir die Gruppe [mm] $S_3$ [/mm] an.
> j) Nee net wirklich. Nullstellen ergeben sich dadurch ja
> schon mal nicht in [mm]F_2[/mm] ,oder?
Nein, Nullstellen bekommst du nicht.
Allerdings ist [mm] $x^8 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + 1$ schon ueber [mm] $\IZ$ [/mm] nicht irreduzibel. (Stichwort: Kreisteilungspolynom.) Es gilt [mm] $(x^8 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + 1) [mm] \cdot [/mm] (x - 1) = [mm] x^9 [/mm] - 1$, was durch [mm] $x^3 [/mm] - 1 = [mm] (x^2 [/mm] + x + 1) (x - 1)$ teilbar ist.
Somit ist [mm] $x^8 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + 1$ durch [mm] $x^2 [/mm] + x + 1$ teilbar.
> k) Hab gelesen, dass die Elemente von K[x], die in <f>
> enthalten sind, im Faktorring 0 sind.
Ja, aber das hier:
> Also gibt es Nullteiler, weil die erzeugten Polynome
> durch f in K[x] liegen.
ergibt keinen Sinn.
Seien $g, h [mm] \in [/mm] K[x]$ mit $g [mm] \cdot [/mm] h = f$ und [mm] $\deg [/mm] g, [mm] \deg [/mm] h > 0$.
Was gilt fuer die Restklassen $g + [mm] \langle [/mm] f [mm] \rangle$ [/mm] und $h + [mm] \langle [/mm] f [mm] \rangle$ [/mm] in $K[x] / [mm] \langle [/mm] f [mm] \rangle$?
[/mm]
> l) Würd sagen die Nullstellen sind [mm]\wurzel{-1}, -\wurzel{-1}, \wurzel{-1}*c[/mm]
> und [mm]-\wurzel{-1}*c[/mm] mit c = exp((2*pi*i)/4). Dann ist der
Wir sind hier in Koerpern der Charakteristik 2, und nicht in [mm] $\IC$! [/mm] Und um Erweiterungskoerper von [mm] $\IQ$ [/mm] geht es insbesondere auch nicht.
> Zerfällungskörper über [mm]\IQ[/mm] dann [mm]\IQ(\wurzel{-1},c)[/mm] der
> Zerfällungsköper. Ist des so richtig? Somit ist dieses
> Polynom reduzibel.
Schau doch mal, ob du nicht bereits in [mm] $\IF_2$ [/mm] selber Nullstellen finden kannst.
LG Felix
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