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| Aufgabe | Bearbeiten Sie die folgenden Multiple Choice Fragen gründlich und raten Sie
nicht einfach nur. Es kommt auch auf Details der Formulierung an. Richtige Antworten werden mit einem Punkt, falsche Antworten mit einem Minuspunkt bewertet.
1. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist:
a) Jede beschränkte Teilmenge von [mm] \IN [/mm] hat ein Infimum in [mm] \IR. [/mm]
b) Jede beschränkte Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] hat ein Supremum in [mm] \IR. [/mm]
c) Jede nichtleere beschränkte Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] hat ein Supremum, und dieses Supremum liegt in [mm] \IQ. [/mm]
2. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist.
a) Für alle x [mm] \in \IR\setminus{1} [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] \summe_{k=0}^{n-1}x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{n}}{1-x}.
[/mm]
b) Für alle n,k [mm] \in \IN [/mm] mit k < n gilt [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k+1} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}.
[/mm]
3. Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der Elemente der gegebenen Menge.
a) [mm] \{1;2;3\}\setminus\{{2;3}\} [/mm]
0 / 1 / 2 / 3 / 4 ?
b) [mm] \{\{\emptyset\};\{2\};\{2;\{2\}\}\} [/mm]
0 / 1 / 2 / 3 / 4 ?
c) [mm] \{1;2\}\setminus\{2;4\} [/mm]
0 / 1 / 2 / 3 / 4 ? |
Hallo,
Erstmal ein paar Begriffe aus meinem Skript, die wir brauchen werden:
Untere Schranke: Eine reelle Zahl b heißt untere Schranke einer Menge A [mm] \subset \IR, [/mm] wenn für jedes x [mm] \in [/mm] A gilt: x [mm] \ge [/mm] b.
Infimum: Sei A [mm] \subset \IR [/mm] eine nach unten beschränkte Menge. Eine reelle Zahl a heißt größte untere Schranke oder Infimum von A, wenn für jede untere Schranke b gilt: a [mm] \ge [/mm] b.
Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt eine kleinste obere Schranke.
Bei mir im Skript steht noch darunter: In der Tat ist das Vollständigkeitsaxiom in [mm] \IQ [/mm] nicht erfüllt.
Ich muss hier besonders aufpassen, da man für jede falsche Antwort ein Minuspunkt bekommt. Nach einiger Überlegungen habe ich folgendes:
zu 1:
a) Wahr. Sei N eine nach unten (und nach oben) beschränkte Teilmenge von [mm] \IN [/mm] mit der unteren Schranke b [mm] \in \IR. [/mm] Man findet immer ein a [mm] \in \IR [/mm] mit a [mm] \ge [/mm] b für jede untere Schranke b. a ist hier das Infinimum.
b) Falsch, weil die Vollständigkeitsaxiom in [mm] \IQ [/mm] nicht gilt.
c) Falsch, weil hier ebenfalls wie in b die Vollständigkeitsaxiom in [mm] \IQ [/mm] nicht gilt. Schon das erste Teil der Aufgabenstellung ist falsch. Die gesamte Aussage ist also auch falsch.
Kann es sein, dass das Wort "nichtleere" hier eine Besondere Rolle spielt? In b gib es dieses Wort nämlich nicht, in c wohl.
2.
a) Wahr. Ich habe schon die geometrische Summenformel bewiesen: für alle x [mm] \in \IR\setminus{1} [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] \summe_{k=0}^{n}x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x}. [/mm]
Nun in der Aufgabenstellung haben wir ein Aussage, wo auf beiden Seiten n um eins verkleinert ist (n-1 als obere Grenze der Summe und n als Potenz), deshalb sollte die Aussage in der Aufgabenstellung wahr sein.
b) Falsch, weil bei mir die folgende Aussage schon bewiesen ist:
Für alle n,k [mm] \in \IN [/mm] mit k < n gilt [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k+1} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k}. [/mm] Somit kann also die Aussage in der Aufgabenstellung nicht gelten.
3.
a) Antwort: 3. Die Menge links hat drei Elemente. Da kommt noch der Abzug des Elementes [mm] \{2;3\} [/mm] (und nicht der Elemente 2 und 3). Wir haben also die Menge [mm] \{1;2;3\} [/mm] mit 3 Elementen.
b) Antwort: entweder 3 oder 4. Hier bin ich unsicher. Wir haben auf jeden Fall 3 Elemente [mm] \{\emptyset\}, \{2\} [/mm] und [mm] \{2;\{2\}\}. [/mm] Bloß weiß ich nicht, ob die inneren Elemente von [mm] \{2; \{2\}\} [/mm] 2 und [mm] \{2\} [/mm] auch als Elemente der gesamten Menge betrachtet werden müssen. Wenn ja, dann haben wir 4 Elemente [mm] (\{2\} [/mm] haben wir schon, 2 kommt noch hinzu). Das sieht aber sehr komisch aus, wenn wir die 2 einfach dazu schreiben: [mm] \{\{\emptyset\};\{2\};\{2;\{2\}\}\} [/mm] = [mm] \{\{\emptyset\};\{2\};\{2;\{2\}\}; 2\}. [/mm] Das geht doch nicht, oder? Wenn das nicht geht, dann haben wir 3 Elemente.
c) Antwort: 1. Das hier ist nicht besonders schwer. [mm] \{1, 2\} [/mm] hat keine 4 als Element und da wird noch die 2 abgezogen. Also bleibt die Menge nur mit dem Element 1: [mm] \{1\}. [/mm]
Die 2. und die 3. Aufgaben verstehe ich viel besser als die 1. Die ganzen Sachen mit Mengen, Beschränktheit, Supremas und Infinimas habe ich noch nicht so gut kapiert, dass ich zu 100% sicher wäre, dass alle meine Antworten richtig sind.
Jede Hilfe ist sehr begehrt. Danke.
Viele liebe Grüße aus Aachen
Tevulytis
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 So 05.11.2006 | | Autor: | Tevulytis |
Hallo,
Obwohl der Fälligkeitstermin schon abgelaufen ist, bin ich heute abend immernoch für wenigstens ein bisschen Hilfe interessiert!
Danke
Viele Grüße
Tevulytis
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Hallo,
> Bearbeiten Sie die folgenden Multiple Choice Fragen
> gründlich und raten Sie
> nicht einfach nur. Es kommt auch auf Details der
> Formulierung an. Richtige Antworten werden mit einem Punkt,
> falsche Antworten mit einem Minuspunkt bewertet.
>
> 1. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch
> ist:
>
> a) Jede beschränkte Teilmenge von [mm]\IN[/mm] hat ein Infimum in
> [mm]\IR.[/mm]
>
> b) Jede beschränkte Teilmenge von [mm]\IQ[/mm] hat ein Supremum in
> [mm]\IR.[/mm]
>
> c) Jede nichtleere beschränkte Teilmenge von [mm]\IQ[/mm] hat ein
> Supremum, und dieses Supremum liegt in [mm]\IQ.[/mm]
>
>
>
> 2. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch
> ist.
>
> a) Für alle x [mm]\in \IR\setminus{1}[/mm] und n [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1}x^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1-x^{n}}{1-x}.[/mm]
>
> b) Für alle n,k [mm]\in \IN[/mm] mit k < n gilt [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] +
> [mm]\vektor{n \\ k+1}[/mm] = [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}.[/mm]
>
>
> 3. Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der Elemente der
> gegebenen Menge.
>
> a) [mm]\{1;2;3\}\setminus\{{2;3}\}[/mm]
> 0 / 1 / 2 / 3 / 4 ?
>
> b) [mm]\{\{\emptyset\};\{2\};\{2;\{2\}\}\}[/mm]
> 0 / 1 / 2 / 3 / 4 ?
>
> c) [mm]\{1;2\}\setminus\{2;4\}[/mm]
> 0 / 1 / 2 / 3 / 4 ?
> Hallo,
>
> Erstmal ein paar Begriffe aus meinem Skript, die wir
> brauchen werden:
>
> Untere Schranke: Eine reelle Zahl b heißt untere Schranke
> einer Menge A [mm]\subset \IR,[/mm] wenn für jedes x [mm]\in[/mm] A gilt: x
> [mm]\ge[/mm] b.
>
> Infimum: Sei A [mm]\subset \IR[/mm] eine nach unten beschränkte
> Menge. Eine reelle Zahl a heißt größte untere Schranke oder
> Infimum von A, wenn für jede untere Schranke b gilt: a [mm]\ge[/mm]
> b.
>
> Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere, nach oben
> beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt eine kleinste
> obere Schranke.
> Bei mir im Skript steht noch darunter: In der Tat ist das
> Vollständigkeitsaxiom in [mm]\IQ[/mm] nicht erfüllt.
>
>
>
>
> Ich muss hier besonders aufpassen, da man für jede falsche
> Antwort ein Minuspunkt bekommt. Nach einiger Überlegungen
> habe ich folgendes:
>
> zu 1:
> a) Wahr. Sei N eine nach unten (und nach oben) beschränkte
> Teilmenge von [mm]\IN[/mm] mit der unteren Schranke b [mm]\in \IR.[/mm] Man
> findet immer ein a [mm]\in \IR[/mm] mit a [mm]\ge[/mm] b für jede untere
> Schranke b. a ist hier das Infinimum.
Wenn die Menge nichtleer ist würde ich auch sagen, es stimmt.
Als Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] besitzt sie ein Supremum/Infimum in [mm] $\IR$ [/mm] (Vollständigkeit).
Falls die Menge aber die leere Menge ist, dann ist jede Zahl [mm] $\in\IR$ [/mm] eine obere/untere Schranke und es kann keine größte/kleinste geben.
Wegen der leeren Menge ist 1 a) meiner Meinung nach falsch.
> b) Falsch, weil die Vollständigkeitsaxiom in [mm]\IQ[/mm] nicht
> gilt.
Hast Du Dich dann in der Aufgabestellung vertippt, oder warum sollte hier etwas anderes herauskommen als in a)?
> c) Falsch, weil hier ebenfalls wie in b die
> Vollständigkeitsaxiom in [mm]\IQ[/mm] nicht gilt. Schon das erste
> Teil der Aufgabenstellung ist falsch. Die gesamte Aussage
> ist also auch falsch.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ein Gegenbeispiel reicht zum Widerlegen: [mm] $\left\{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n\ :\ n\in\IN\right\}\subset\IQ$
[/mm]
Das Supremum ist $e$, und [mm] $e\not\in\IQ$
[/mm]
> Kann es sein, dass das Wort "nichtleere" hier eine
> Besondere Rolle spielt? In b gib es dieses Wort nämlich
> nicht, in c wohl.
>
> 2.
> a) Wahr. Ich habe schon die geometrische Summenformel
> bewiesen: für alle x [mm]\in \IR\setminus{1}[/mm] und n [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]\summe_{k=0}^{n}x^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}.[/mm]
> Nun in der Aufgabenstellung haben wir ein Aussage, wo auf
> beiden Seiten n um eins verkleinert ist (n-1 als obere
> Grenze der Summe und n als Potenz), deshalb sollte die
> Aussage in der Aufgabenstellung wahr sein.
> b) Falsch, weil bei mir die folgende Aussage schon bewiesen
> ist:
> Für alle n,k [mm]\in \IN[/mm] mit k < n gilt [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] +
> [mm]\vektor{n \\ k+1}[/mm] = [mm]\vektor{n+1 \\ k}.[/mm] Somit kann also die
> Aussage in der Aufgabenstellung nicht gelten.
Habe ich jetzt nicht selbst nachgerechnet, aber wenn diese Formel bewiesen wurde, kann 1b) nicht wahr sein.
> 3.
> a) Antwort: 3. Die Menge links hat drei Elemente. Da kommt
> noch der Abzug des Elementes [mm]\{2;3\}[/mm] (und nicht der
> Elemente 2 und 3). Wir haben also die Menge [mm]\{1;2;3\}[/mm] mit 3
> Elementen.
Hier habe ich leider erst im Quelltext gesehen, dass die Aufgabe lautet:
[mm] $\{1,2,3\}\setminus\{\{2,3\}\}$
[/mm]
Da [mm] $\{2,3\}\not\in\{1,2,3\}$ [/mm] ist die richtige Antwort 3.
> b) Antwort: entweder 3 oder 4. Hier bin ich unsicher. Wir
> haben auf jeden Fall 3 Elemente [mm]\{\emptyset\}, \{2\}[/mm] und
> [mm]\{2;\{2\}\}.[/mm] Bloß weiß ich nicht, ob die inneren Elemente
> von [mm]\{2; \{2\}\}[/mm] 2 und [mm]\{2\}[/mm] auch als Elemente der gesamten
> Menge betrachtet werden müssen. Wenn ja, dann haben wir 4
> Elemente [mm](\{2\}[/mm] haben wir schon, 2 kommt noch hinzu). Das
> sieht aber sehr komisch aus, wenn wir die 2 einfach dazu
> schreiben: [mm]\{\{\emptyset\};\{2\};\{2;\{2\}\}\}[/mm] =
> [mm]\{\{\emptyset\};\{2\};\{2;\{2\}\}; 2\}.[/mm] Das geht doch
> nicht, oder? Wenn das nicht geht, dann haben wir 3
> Elemente.
Woraus die Elemente bestehen spielt keine Rolle. Die Menge hat 3 Elemente.
> c) Antwort: 1. Das hier ist nicht besonders schwer. [mm]\{1, 2\}[/mm]
> hat keine 4 als Element und da wird noch die 2 abgezogen.
> Also bleibt die Menge nur mit dem Element 1: [mm]\{1\}.[/mm]
> Die 2. und die 3. Aufgaben verstehe ich viel besser als die
> 1. Die ganzen Sachen mit Mengen, Beschränktheit, Supremas
> und Infinimas habe ich noch nicht so gut kapiert, dass ich
> zu 100% sicher wäre, dass alle meine Antworten richtig
> sind.
> Jede Hilfe ist sehr begehrt. Danke.
Grüße, Frusciante
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