Multiplikative Funktionen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:30 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | Sei f multiplikativ. Dann ist f vollständig multiplikativ
genau dann, wenn [mm] f^{-1}(p^{\alpha}) [/mm] = 0 für alle Primzahlen p und [mm] \alpha \ge [/mm] 2. |
Diese Aufgabe muss ich am Donnerstag vorrechnen, und ich hab leider noch keine Idee für den Beweis.
Wir hatten folgende Definitionen:
f multiplikativ, wenn
[mm] f(p_{1}^{\alpha_{1}}... p_{k}^{\alpha_{k}}) [/mm] = [mm] f(p_{1}^{\alpha_{1}})... f(p_{k}^{\alpha_{k}}) [/mm] mit [mm] p_{i} [/mm] Primzahlen.
f vollständig multiplikativ, wenn
[mm] f(p_{1}^{\alpha_{1}}... p_{k}^{\alpha_{k}}) [/mm] = [mm] f(p_{1})^{\alpha_{1}}... f(p_{k})^{\alpha_{k}} [/mm] mit [mm] p_{i} [/mm] Primzahlen.
Ich hab noch eine Proposition gefunden, dass mit f multiplikativ auch [mm] f^{-1} [/mm] multiplikativ ist.
So heißt dass ja dann bei meiner zu beweisenden Aufgabe, dass [mm] f^{-1} [/mm] alle Zahlen, nur Primzahlen nicht, auf 0 abbildet.
Wie kann ich das benutzen? Hilft das überhaupt?
Viele Grüße!! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Mo 23.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei f multiplikativ. Dann ist f vollständig multiplikativ
> genau dann, wenn [mm]f^{-1}(p^{\alpha})[/mm] = 0 für alle
> Primzahlen p und [mm]\alpha \ge[/mm] 2.
Was genau soll [mm] $f^{-1}$ [/mm] hier bedeuten? Die Urbildfunktion? Die Inverse? Aber muss $f$ ueberhaupt bijektiv sein?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Loko |
Ehrlich gesagt kann ich das nicht beantworten.. das hab ich mich nämlich auch gefragt, was ich darüber auf mein f schließen kann. Hier steht leider nicht mehr dazu.
Ich hatte die Hoffnung, dass jemand diese Aussage vielleicht kennt ;)
Ansonsten muss ich Morgen nochmal nachfragen.
Danke aber schonmal für die Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Mo 23.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ehrlich gesagt kann ich das nicht beantworten..
Dann schau doch mal in euer Skript. Scheint ja so als wenn ihr [mm] $f^{-1}$ [/mm] schon mehr als einmal verwendet habt. Also wird sich auch eine Definition finden bzw. Informationen, mit denen man auf [mm] $f^{-1}$ [/mm] schliessen kann.
Ist eventuell das Inverse bzgl. der Faltung (als Multiplikations-Operation) gemeint?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Loko |
Ich hab nochmal in dem Buch gestöbert, dass wir benutzen.
Dabei ist bei einem "ähnlichem" Satz mit [mm] f^{-1} [/mm] die Dirichlet-Inverse gemeint. Also:
(f * [mm] f^{-1}) [/mm] (n) = [mm] \summe_{d|n} f(\bruch{n}{d}) f^{-1}(d) [/mm] = I(n) = 0 für n > 1.
Da stand mit f multiplikativ ist [mm] f^{-1} [/mm] (n) = [mm] \mu(n) [/mm] f(n) genau dann, wenn f vollständig mutliplikativ ist.
Ich weiß nicht genau, ob mir das wirklich weiterhilft, aber hier mal ein paar Ansätze:
f multip. Dann f vollständig multiplikativ
[mm] \gdw f^{-1}(n) [/mm] = [mm] \mu(n)f(n) [/mm] (schon bewiesen)
[mm] \gdw f^{-1}(p^{\alpha}) [/mm] = 0, [mm] \alpha [/mm] > 1. (zz)
Hinrichtung:
f vollst. multipl. [mm] \Rightarrow f^{-1}(n) [/mm] = [mm] \mu(n)f(n).
[/mm]
gilt [mm] \forall [/mm] n, also gerade auch für [mm] p^{\alpha}
[/mm]
[mm] f^{-1}(p^{\alpha}) [/mm] = [mm] \mu(p^{\alpha})f(p^{\alpha}) [/mm] = 0 mit [mm] \alpha [/mm] > 1, da [mm] \mu(p^{\alpha}) [/mm] = 0 mit [mm] \alpha [/mm] > 1.
Rückrichtung:
[mm] f^{-1}(p^{\alpha}) [/mm] = 0 für [mm] \alpha [/mm] > 1.
Also [mm] f^{-1} [/mm] (n) = [mm] f^{-1}(p_{1}^{\alpha_{1}})...f^{-1}(p_{k}^{\alpha_{k}}) [/mm] (wg [mm] f^{-1} [/mm] multiplikativ mit f multiplikativ)
sind alle [mm] \alpha_{i} [/mm] = 1, dann ist [mm] f^{-1} [/mm] in dem Fall vollständig multiplikativ.
Ist ein [mm] \alpha_{i} [/mm] > 1, dann ist [mm] f^{-1}(p_{i}^{\alpha_{i}}) [/mm] = 0 und so der gesamte Ausdruck,
genauso wie dann [mm] \mu(p_{i}^{\alpha_{i}}) [/mm] = 0 ist, und so der gesamte Ausdruck
[mm] \mu(p_{1}^{\alpha_{1}})f(p_{1}^{\alpha_{1}})...\mu(p_{k}^{\alpha_{k}})f(p_{k}^{\alpha_{k}}).
[/mm]
Klappt das so?!
Viele Grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich hab nochmal in dem Buch gestöbert, dass wir benutzen.
> Dabei ist bei einem "ähnlichem" Satz mit [mm]f^{-1}[/mm] die
> Dirichlet-Inverse gemeint. Also:
> (f * [mm]f^{-1})[/mm] (n) = [mm]\summe_{d|n} f(\bruch{n}{d}) f^{-1}(d)[/mm]
> = I(n) = 0 für n > 1.
Also doch...
> Da stand mit f multiplikativ ist [mm]f^{-1}[/mm] (n) = [mm]\mu(n)[/mm] f(n)
> genau dann, wenn f vollständig mutliplikativ ist.
>
> Ich weiß nicht genau, ob mir das wirklich weiterhilft,
> aber hier mal ein paar Ansätze:
>
> f multip. Dann f vollständig multiplikativ
> [mm]\gdw f^{-1}(n)[/mm] = [mm]\mu(n)f(n)[/mm] (schon bewiesen)
> [mm]\gdw f^{-1}(p^{\alpha})[/mm] = 0, [mm]\alpha[/mm] > 1. (zz)
>
> Hinrichtung:
> f vollst. multipl. [mm]\Rightarrow f^{-1}(n)[/mm] = [mm]\mu(n)f(n).[/mm]
> gilt [mm]\forall[/mm] n, also gerade auch für [mm]p^{\alpha}[/mm]
> [mm]f^{-1}(p^{\alpha})[/mm] = [mm]\mu(p^{\alpha})f(p^{\alpha})[/mm] = 0 mit
> [mm]\alpha[/mm] > 1, da [mm]\mu(p^{\alpha})[/mm] = 0 mit [mm]\alpha[/mm] > 1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Rückrichtung:
> [mm]f^{-1}(p^{\alpha})[/mm] = 0 für [mm]\alpha[/mm] > 1.
> Also [mm]f^{-1}[/mm] (n) =
> [mm]f^{-1}(p_{1}^{\alpha_{1}})...f^{-1}(p_{k}^{\alpha_{k}})[/mm]
> (wg [mm]f^{-1}[/mm] multiplikativ mit f multiplikativ)
> sind alle [mm]\alpha_{i}[/mm] = 1, dann ist [mm]f^{-1}[/mm] in dem Fall
> vollständig multiplikativ.
> Ist ein [mm]\alpha_{i}[/mm] > 1, dann ist
> [mm]f^{-1}(p_{i}^{\alpha_{i}})[/mm] = 0 und so der gesamte
> Ausdruck,
> genauso wie dann [mm]\mu(p_{i}^{\alpha_{i}})[/mm] = 0 ist, und so
> der gesamte Ausdruck
>
> [mm]\mu(p_{1}^{\alpha_{1}})f(p_{1}^{\alpha_{1}})...\mu(p_{k}^{\alpha_{k}})f(p_{k}^{\alpha_{k}}).[/mm]
Und warum ist jetzt [mm] $f^{-1}(n) [/mm] = [mm] \mu(n) [/mm] f(n)$ fuer alle $n$? Du hast es nur fuer nicht-quadratfreie $n$ gezeigt. Aber warum gilt es auch, wenn $n$ quadratfrei ist?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 So 12.02.2012 | | Autor: | Loko |
(Wenn auch verspätet:) Dankeschön für die Antwort! :)
Ich hab über die Definition die Rückrichtung dann schnell hinbekommen!
Viele Grüße und Danke nochmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 27.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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