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| Aufgabe | | Prüfen Sie, ob 137 in [m]\IZ_{152}[/m] eine multiplikative Inverse besitzt. |
Hallo zusammen.
Zur Aufgabe:
Gegeben: [m]a = 137, m = 152[/m]
Zu zeigen: [m]ggT (m,a) = ggT (152, 137) = 1 \vee ggT (152, 137) \not= 1[/m]
Meines Wissens nach, gibt es zu 137 eine multiplikative Inverse, wenn a und m teilerfremd sind, also ggT (m,a) = 1 gilt.
Anwendung des euklidischen Algorithmus:
152 = 137 * 1 + 15
137 = 15 * 9 + 2
15 = 2 * 7 + 1
2 = 1 * 2 + 0
Also ist [m]ggT (152, 137) = 1[/m] und somit besitzt 137 eine Inverse in [m]\IZ_{152}[/m].
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Ich möchte an dieser Stelle auch konkret die Inverse von 137 berechnen,
auch wenn es nicht Bestandteil der Aufgabe ist/war.
Anwendung des erweiterten euklidischen Algorithmus und
Bestimmung der Bézout Koeffizienten:
Es gilt: [m]ggT (152, 137) = 1 \Rightarrow[/m] es gibt [m]x, y \in \IZ[/m] mit [m]x*152 + y*137 = 1[/m]
1 = 15 - 2 * 7
= 15 - (137 - 15 * 9) * 7
= 64 * 15 - 137 * 7
= 64 * (152 - 137 * 1) - 137 * 7
= 64 * 152 + 7 * 137
Also ist [m]x=64, \ y=7[/m].
Der folgende Rechner zur Bestimmung der multiplikativen Inverse liefert:
[m]137^{(-1)} \equiv 81 \ (mod \ 152) [/m]
Quelle: http://public.hochschule-trier.de/~knorr/multiplikativesInverse.php
Wie kommt man auf die 81?
Muss man die - mit dem erweitereten euklidischen Algorithmus - bestimmten Bézout Koeffizienten [m]x,y \in \IZ[/m] addieren,
also [m]x+y=64+7=81[/m]?
Oder aber muss man [m]152 \equiv 81 \mod 152[/m] errechnen?
Hier ist der Restwertoperator wieder die x+y=71.
Freue mich auf Feedback!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Sa 06.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Prüfen Sie, ob 137 in [m]\IZ_{152}[/m] eine multiplikative
> Inverse besitzt.
> Hallo zusammen.
>
> Zur Aufgabe:
>
> Gegeben: [m]a = 137, m = 152[/m]
>
> Zu zeigen: [m]ggT (m,a) = ggT (152, 137) = 1 \vee ggT (152, 137) \not= 1[/m]
>
> Meines Wissens nach, gibt es zu 137 eine multiplikative
> Inverse, wenn a und m teilerfremd sind, also ggT (m,a) = 1
> gilt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Anwendung des euklidischen Algorithmus:
>
> 152 = 137 * 1 + 15
> 137 = 15 * 9 + 2
> 15 = 2 * 7 + 1
> 2 = 1 * 2 + 0
>
> Also ist [m]ggT (152, 137) = 1[/m] und somit besitzt 137 eine
> Inverse in [m]\IZ_{152}[/m].
> --------------------------------------------------------
>
> Ich möchte an dieser Stelle auch konkret die Inverse von
> 137 berechnen,
> auch wenn es nicht Bestandteil der Aufgabe ist/war.
>
> Anwendung des erweiterten euklidischen Algorithmus und
> Bestimmung der Bézout Koeffizienten:
>
> Es gilt: [m]ggT (152, 137) = 1 \Rightarrow[/m] es gibt [m]x, y \in \IZ[/m]
> mit [m]x*152 + y*137 = 1[/m]
>
> 1 = 15 - 2 * 7
> = 15 - (137 - 15 * 9) * 7
> = 64 * 15 - 137 * 7
> = 64 * (152 - 137 * 1) - 137 * 7
> = 64 * 152 + 7 * 137
die letzte Zeile ist Quatsch:
[mm] $=64*152-(64+7)*137\,.$
[/mm]
> Also ist [m]x=64, \ y=7[/m].
[mm] $x=64\,$ [/mm] ist okay, aber es ist [mm] $y=-71\,$!
[/mm]
Ich prüfe mal nur Dein Ergebnis. Den erweiterten euklidischen Algorithmus
findest Du etwa in
Elementare und algebraische Zahlentheorie von Müller-Stach, Piontkowski
oder
Einführung in die Kryptograhie von Johannes Buchmann
gut beschrieben. Wobei sich die Algorithmen dort ein wenig unterscheiden.
Ich rechne jetzt einfach nochmal das korrigierte Ergebnis nach, ob das
passt:
[mm] $64*152+(-71)*137=1\,$
[/mm]
sagt mein TR!
> Der folgende Rechner zur Bestimmung der multiplikativen
> Inverse liefert:
> [m]137^{(-1)} \equiv 81 \ (mod \ 152)[/m]
>
> Quelle:
> http://public.hochschule-trier.de/~knorr/multiplikativesInverse.php
>
> Wie kommt man auf die 81?
Ganz einfach: Wenn Du Deinen Fehler oben korrigierst, siehst Du
$137*(-71) [mm] \equiv [/mm] 1$ mod [mm] $152\,.$
[/mm]
D.h. die Äquivalenzklasse
[mm] $[-71]_{152}$
[/mm]
ist das multiplikativ Inverse von [mm] $[137]_{152}\,.$
[/mm]
Die Notation
$a = [mm] b\,$ [/mm] mod [mm] $n\,$ [/mm] (beachte, dass hier nicht [mm] $\equiv$, [/mm] sondern [mm] $=\,$ [/mm] steht!)
bedeutet meist sowas wie
[mm] $a=b-\lfloor [/mm] b/n [mm] \rfloor*n$ [/mm] (siehe ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Division_mit_Rest#Modulo),
deswegen wird auf der von Dir verlinkten Webseite sicher als Repräsentant
von [mm] $[-71]_{152}$ [/mm] eben [mm] $-71+152=81\,$ [/mm] gewählt.
Beachte
[mm] $[-71]_{152}=[-71+k*152]_{152}$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IZ\,,$
[/mm]
bzw. anders gesagt
$-71 [mm] \equiv [/mm] -71+k*152$ mod [mm] $152\,$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
> Muss man die - mit dem erweitereten euklidischen
> Algorithmus - bestimmten Bézout Koeffizienten [m]x,y \in \IZ[/m]
> addieren,
> also [m]x+y=64+7=81[/m]?
Öhm: 64+7 ist [mm] $=71\,,$ [/mm] nicht [mm] $81\,.$ [/mm] Und nebenbei:
$ 64 * 152 + 7 * [mm] 137\,$
[/mm]
könnte niemals [mm] $=1\,$ [/mm] ergeben. Warum...???
Jetzt klarer?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Sa 06.09.2014 | | Autor: | gummibaum |
Na klar, blöder Rechenfehler!
Hab den Fehler gefunden, danke schön!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 So 07.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Na klar, blöder Rechenfehler!
man könnte auch sagen, dass Du ohne Bedacht falsch *weitergeschrieben* hast.
Und, wie gesagt, man sollte immer wenigstens auch mal grob
drübergucken, ob das, was da steht, noch sinnvoll sein kann - wenn es
das nämlich nicht ist (die Summe zweier echt großer positiver Zahlen wird
sicher nicht [mm] $1\,$ [/mm] ergeben), dann sollte man nach einem Rechen- oder
Schreibfehler Ausschau halten.
In der Schule hatte mein damaliger Mathelehrer auch immer gesagt, dass
man bei seinen Rechnungen wenigstens mal grob überschlagen sollte, ob
das Ergebnis passen kann. Wenn man das oft macht, bekommt man
durchaus auch schnell ein Gefühl dafür, ob man sich verrechnet hat oder
nicht. Wenn man dann etwa
$5*75,5$
ausrechnen soll und bekommt als Ergebnis [mm] $1225,5\,$ [/mm] (warum auch immer), dann
wird man direkt intervenieren und sagen, dass da doch irgendwas falsch
gelaufen war. Und wenn es die Eingabe in den Taschenrechner war, oder
die Batterie des TR fast leer ist und der deshalb Unfug rechnet...
> Hab den Fehler gefunden, danke schön!
Es war ja kein großer Fehler, und eigentlich hast Du auch nur einen an einer
Stelle gemacht, die laut Dir ja eh nicht zur Aufgabe gehört hat. Nichtsdestotrotz
ist es immer gut, wenn man die Fehler findet, erkennt und einprägt - bzw.
besser gesagt: Die Korrektur einprägt. Wobei das bei Dir ja nicht wichtig
war, da es kein logischer, sondern nur ein Rechenfehler war. Und die
passieren halt schnell(er) mal.
Gruß,
Marcel
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