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| Aufgabe | | Show that [mm] f(x,y)=Ax^ay^b-px-qy-r [/mm] (where A,a,b are positive constants, and p,q and r are arbitrary constants) is concave for [mm] x\ge0, y\ge0 [/mm] provided at [mm] a+b\le1 [/mm] |
Hallo, allerseits!
Ich habe rausgefunden, dass [mm] f''_{11}\le0 [/mm] und [mm] f''_{22}\le0 [/mm] sind.
dann habe ich die Ableitungen in die Nachweisformel für Maxima eingesetzt und versucht, aufzulösen:
[mm] f''_{11}f''_{22}-(f''_{12})^2
[/mm]
[mm] =(-y^bAa^2x^{a-2})(-Ax^ab^2y^{b-2})-(Aax^{a-1}by^{b-1})^2
[/mm]
[mm] =(y^{b^2-2}A^2a^2x^{a^2-2}b^2)-(A^2a^2x^{2a-2}b^2y^{2b-2})
[/mm]
[mm] =A^2a^2b^2x^{-2}y^{-2}(y^{b^2}x^{a^2}-x^{2a}y^{2b})
[/mm]
Weiter komme ich nicht und die Ergebnisse im Buch erzählen mir was von folgender Gleichung:
[mm] f''_{11}f''_{22}-(f''_{12})^2=abA^2x^{2a-2}y^{2b-2}[1-(a+b)]
[/mm]
Wie zur Hölle kommen die darauf? Kann mir das jemand beantworten? Danke, Tiemo
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Hallo und vielen dank für die antwort.
= [mm] A^2x^{2a-2}y^{2b-2} [/mm] ab(1-b-a)
Diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen. Bei mir fehlt eine 1.
= [mm] A^2 [/mm] a(a-1) b(b-1) [mm] y^{2b-2}x^{2a-2} [/mm] - [mm] A^2 a^2 b^2 x^{2a-2}y^{2b-2} [/mm]
= [mm] A^2abx^{2a-2}y^{2b-2}((b-1)(a-1)-ab)
[/mm]
= [mm] A^2x^{2a-2}y^{2b-2} [/mm] ab(-(b+a))
Wo habe ich die denn verschluckt? Mfg tiemo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mo 12.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und vielen dank für die antwort.
> = [mm]A^2x^{2a-2}y^{2b-2}[/mm] ab(1-b-a)
>
> Diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen. Bei mir fehlt
> eine 1.
>
> = [mm]A^2[/mm] a(a-1) b(b-1) [mm]y^{2b-2}x^{2a-2}[/mm] - [mm]A^2 a^2 b^2 x^{2a-2}y^{2b-2}[/mm]
>
> = [mm]A^2abx^{2a-2}y^{2b-2}((b-1)(a-1)-ab)[/mm]
>
> = [mm]A^2x^{2a-2}y^{2b-2}[/mm] ab(-(b+a))
Es ist (b-1)(a-1)-ab= ab -b-a+1-ab = 1-a-b
FRED
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> Wo habe ich die denn verschluckt? Mfg tiemo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Mo 12.10.2009 | | Autor: | toteitote |
oh mann.... thx
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