Musterlösung falsch? Ableitung < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Fr 14.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
| Aufgabe | f(x) = [mm] \bruch{2x}{x^2+t^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{t}
[/mm]
Gesucht 1. und 2. Ableitung. |
Irgendwie scheint mir die Musterlösung falsch zu sein. Ich selbst komme auf dieses Ergebnis... stimmt das?
f'(x) = [mm] \bruch{2(x^2-t^2)-2x*2x}{(x^2-t^2)^2} [/mm] --> [mm] \bruch{1}{t} [/mm] ist ja eine Konstante.
f´´(x) = [mm] \bruch{4x-4*(x^2-t^2)^2 - (2x^2-2t^2)-4x* (2*(x^2+t^2) * 2x)}{(x^2+t^2)^4}
[/mm]
Insbesondere bei der 2. Ableitung steht in der Musterlösung was ganz was anderes, wie kann denn das sein?
Danke.
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> f(x) = [mm]\bruch{2x}{x^2+t^2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{t}[/mm]
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> Gesucht 1. und 2. Ableitung.
> Irgendwie scheint mir die Musterlösung falsch zu sein.
> Ich selbst komme auf dieses Ergebnis... stimmt das?
>
> f'(x) = [mm]\bruch{2(x^2-t^2)-2x*2x}{(x^2-t^2)^2}[/mm] -->
> [mm]\bruch{1}{t}[/mm] ist ja eine Konstante.
Was für ein Vorzeichen gilt denn jetzt? Entweder heißt es [mm] x^2 +t^2 [/mm] oder eben Minus, aber beide Varianten können nicht zum Ziel führen, oder? ^^ Demnach bleibt auch nicht 1 im Zähler übrig. Auch bei deiner Variante sind [mm] 2x^2-4x^2 [/mm] wohl kaum 1 ;) Also keine Ahnung, was genau du da eigentlich gerechnet hast. Wende die Quotientenregel noch einmal sorgfältig an, 1/t fällt ja eh weg, da kein x vorkommt, soweit korrekt.
>
> f´´(x) = [mm]\bruch{4x-4*(x^2-t^2)^2 - (2x^2-2t^2)-4x* (2*(x^2+t^2) * 2x)}{(x^2+t^2)^4}[/mm]
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> Insbesondere bei der 2. Ableitung steht in der
> Musterlösung was ganz was anderes, wie kann denn das sein?
> Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 14.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
Ja es heisst tatsächlich F(x)= [mm] \bruch{2x}{x^2+t^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{t}
[/mm]
f´(x) = [mm] \bruch{2*(x^2+t^2) - 2x*2x}{(x^2+t^2)^2} [/mm] = [mm] \bruch{(2x^2+2t^2)-4x}{(x^2+t^2)^2}
[/mm]
f´´(x) = [mm] \bruch{4x-4*(x^2+t^2)^2- (2x^2+2t^2)-4x * (2*(x^2+t^2)*2x)}{(x^2+t^2)^4}
[/mm]
so kommt es bei mir nun wieder raus... habe ich es jetzt ricgtig angewendet?
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Hallo PeterLee,
> Ja es heisst tatsächlich F(x)= [mm]\bruch{2x}{x^2+t^2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{t}[/mm]
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> f´(x) = [mm]\bruch{2*(x^2+t^2) - 2x*2x}{(x^2+t^2)^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") = [mm]\bruch{(2x^2+2t^2)-4x}{(x^2+t^2)^2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hinten steht doch [mm] $-2x\cdot{}2x$ [/mm] und das ist [mm] $=-4x^{\red{2}}$
[/mm]
>
> f´´(x) = [mm]\bruch{4x-4*(x^2+t^2)^2- (2x^2-2t^2)-4x * (2*(x^2+t^2)*2x)}{(x^2+t^2)^4}[/mm]
>
> so kommt es bei mir nun wieder raus... habe ich es jetzt
> ricgtig angewendet?
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
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> Ja genau das habe ich auch gerade noch gemerkt, da hattest
> du aber schon reserviert ;)
>
> f´(x) = [mm]\bruch{(2x^2+2t^2)-4x^2}{(x^2+t^2)^2}[/mm]
Ich würde hier noch zusammenfassen, das macht das weitere Ableiten einfacher: Im Zähler schreibe [mm]2(t^2-x^2)[/mm]
>
> f´´(x)= [mm]\bruch{\red{(}4x-8x\red{)}*(x^2+t^2)^2- \blue{[}(2x^2\green{-}2t^2)-4x^2\blue{]} * (2*(x^2+t^2)*2x)}{(x^2+t^2)^4}[/mm]
Klammern setzen wegen Punkt- vor Strichrechnung, außerdem zusammenfassen zu [mm]-4x[/mm]
Und das grüne "-" sollte ein "+" sein ...
>
> Insbesondere die f´´ interessiert mich eben ob das sein
> kann.
Das hast du bis auf die beiden fehlenden Klammerpaare richtig!
> Weil bei mir in der Lösung steht was ganz anderes...
Na, du kannst dein Ergebnis noch ziemlich vereinfachen.
Fasse mal etwas zusammen und klammere dann im Zähler [mm](x^2+t^2)[/mm] aus, dann kannst du es einmal rauskürzen.
Merke: Bei richtiger Rechnung und Vereinfachung erhöht sich bei Funktionen dieses Typs die Potenz im Nenner mit jeder Ableitung um 1
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Fr 14.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
Sorry, wenn ich dich nochmal beanspruche...der Herr Professor macht das für meinen Geschmack recht schnell und beim Zusammenfassen sind mir einige Dinge noch nicht klar...
Ausgangslage, so wie bei mir nun auch:
f´´(x) = [mm] \bruch{-4x*(x^2+t^2)*(x^2*t^2)-4x(2x^2+2t^2)(x^2+t^2}{(x^2+t^2)^4}
[/mm]
Nun kommt der auf Folgenden Term:
[mm] -4x(x^2+t^2) \bruch{(x^2*t^2)+(2x^2+2t^2}{(x^2-t^2)^4}
[/mm]
Nun wundere ich mich, wo sind denn bitte das 2. -4x und das 2. [mm] (x^2+t^2) [/mm] was vorher ganz zum Schluss stand geblieben?
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Hallo Peter,
> Sorry, wenn ich dich nochmal beanspruche...der Herr
> Professor macht das für meinen Geschmack recht schnell
Tja, so sind sie... 
> und beim Zusammenfassen sind mir einige Dinge noch nicht
> klar...
>
> Ausgangslage, so wie bei mir nun auch:
>
> f´´(x) =
> [mm]\bruch{-4x*(x^2+t^2)*(x^2*t^2)-4x(2x^2+2t^2)(x^2+t^2}{(x^2+t^2)^4}[/mm]
>
> Nun kommt der auf Folgenden Term:
>
> [mm]-4x(x^2+t^2) \bruch{(x^2*t^2)+(2x^2+2t^2}{(x^2-t^2)^4}[/mm]
>
> Nun wundere ich mich, wo sind denn bitte das 2. -4x und das
> 2. [mm](x^2+t^2)[/mm] was vorher ganz zum Schluss stand geblieben?
Im Nenner steht doch sicher weiterhin [mm] (x^2\blue{+}t^2)^4
[/mm]
Ansonsten stehen die Faktoren [mm] -4x(x^2+t^2) [/mm] doch vor dem ganzen Bruch. Er hat also ausgeklammert. Schau Dir nochmal das  Distributivgesetz an.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Fr 14.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
aha, ja jetzt. Wahnsinn, ich seh vor lauter Bäumen den Wald schon nicht mehr :(
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