N-Eck < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist das regelmäßige n-Eck durch die Ecken [mm] A_{k}, [/mm] die gegeben sind durch: [mm] (x,y)=(cos(\bruch{2\pi k}{n}), sin(\bruch{2\pi k}{n})) [/mm] , [mm] 1\le k\le [/mm] n.
[mm] D_{n} [/mm] sei die gruppe der Drehungen und SPiegelungen, welche die Ecken [mm] A_{k} [/mm] ineinander überführt. O sei der Ursprung.
Zeigen Sie, dass [mm] D_{n} [/mm] die zyklische Gruppe der Ordnung n enthält, welche von der Rotation r um O um den Winkel [mm] \bruch{2\pi}{n} [/mm] erzeugt wird und dass sie die Spiegelung s an der x- Achse enthält.
|
Hallo!
Es ist also zu zeigen, dass [mm] D_{n} [/mm] die Gruppe [mm] G:={{r^0, r^1,...,r^n-1 }} [/mm] mit [mm] r=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)} [/mm] mit [mm] \alpha=\bruch{2\pi}{n}
[/mm]
und dass die spiegelung s mit: [mm] s=\pmat{ 1 & 0\\ 0 & -1 } [/mm] enthält.
Ich stehe derzeit noch ziemlich im leeren Raum was obiges betrifft.
Wäre dankbar für gewisse Hilfestellungen.
Mit freundlichen Grüßen.
Elvis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 So 12.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Ich denke du musst zeigen, dass jede Drehung, welche die [mm] $A_k$ [/mm] ineinander überführt, sowie die Spiegelung an der x-Achse "in Wirklichkeit" eine Drehung um [mm] $\frac{2k\pi}{n}$, [/mm] für ein [mm] $1\le k\le [/mm] n$, ist.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Hallo,
Das denk ich mir auch, allerdings fehlt mir die Beweisidee um das zu zeigen.
Trotzdem vielen Dank für deine Mühe.
Grüße Elvis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 So 12.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Also überlege mal so. Wenn eine Abbildung [mm] $\varphi:\IR^2\to\IR^2$ [/mm] die Punkte [mm] $A_k$ [/mm] injektiv (warum sind z.B. Drehungen injektiv?) ineinander überführt, dann gibt es sicherlich ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] mit [mm] $\varphi^m=\operatorname{id}$. [/mm] Aber wie sehen die Potenzen von [mm] $\pmat{ \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha }$ [/mm] aus? Welche Möglichkeiten kommen dann für [mm] $\alpha$ [/mm] infrage?
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
naja Die winkel werden addiert. [mm] (r)^n=id.
[/mm]
Ich verstehe nicht so recht worauf du hinaus willst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 So 12.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> naja Die winkel werden addiert.
Genau.
> Ich verstehe nicht so recht worauf du hinaus willst.
Ok. Wir nennen mal [mm] $D(\alpha)$ [/mm] die Drehmatrix um den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] und $m$ sei die kleinste natürliche Zahl mit [mm] $D(\alpha)^m=\operatorname{id}$. [/mm] Wir wissen nun [mm] $D(\alpha)^m=D(m\alpha)=\operatorname{id}=D(2\pi)$. [/mm] Daraus folgt sicherlich [mm] $m\alpha=2\pi\gdw \alpha=2\pi/m$ [/mm] und $m$ ist nach Definition größergleich $1$ und, da $m$ minimal gewählt ist, auch [mm] $\le [/mm] n$.
Ich habe hier bewusst noch ein paar Lücken in der Argumentation gelassen die du finden und ausfüllen musst, aber ich denke das als "roter Faden" sollte dir ne gute Hilfe sein.
Edit: Wo ich mir gerade so Al's Antwort anschaue... In der Aufgabe soll man natürlich genau die andere Inklusion zeigen, d.h. [mm] $\{D(2k\pi/n)|1\le k\le n\}\subset [/mm] D$ (D ist die Menge der Drehungen, die die [mm] $A_k$ [/mm] ineinander überführt). Was wir hier gemacht haben ist [mm] $D\subset\{D(2k\pi/n)|1\le k\le n\}$, [/mm] war also nicht gefragt. Trotzdem finde ich ist letzteres die wesentlich stärkere Aussage und der Beweis ist viel interessanter. Du kannst also ignorieren was ich geschrieben habe.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
> Gegeben ist das regelmäßige n-Eck durch die Ecken [mm]A_{k},[/mm]
> die gegeben sind durch: [mm](x,y)=(cos(\bruch{2\pi k}{n}), sin(\bruch{2\pi k}{n}))[/mm]
> , [mm]1\le k\le[/mm] n.
> [mm]D_{n}[/mm] sei die gruppe der Drehungen und SPiegelungen,
> welche die Ecken [mm]A_{k}[/mm] ineinander überführt. O sei der
> Ursprung.
> Zeigen Sie, dass [mm]D_{n}[/mm] die zyklische Gruppe der Ordnung n
> enthält, welche von der Rotation r um O um den Winkel
> [mm]\bruch{2\pi}{n}[/mm] erzeugt wird und dass sie die Spiegelung s
> an der x- Achse enthält.
>
> Hallo!
> Es ist also zu zeigen, dass [mm]D_{n}[/mm] die Gruppe [mm]G:={{r^0, r^1,...,r^n-1 }}[/mm]
> mit [mm]r=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)}[/mm]
> mit [mm]\alpha=\bruch{2\pi}{n}[/mm]
> und dass die spiegelung s mit: [mm]s=\pmat{ 1 & 0\\ 0 & -1 }[/mm]
> enthält.
> Ich stehe derzeit noch ziemlich im leeren Raum was obiges
> betrifft.
> Wäre dankbar für gewisse Hilfestellungen.
> Mit freundlichen Grüßen.
> Elvis
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
So ganz klar, was da eigentlich zu zeigen ist, ist mir auch nicht.
Anschaulich betrachtet ist beides ja ganz offensichtlich.
Die Elemente von G gehören natürlich auch zu D, denn r
gehört zu D, weil [mm] r(A_k)=A_{k+1} [/mm] und [mm] r^m(A_k)=A_{k+m} [/mm] (***)
(***) hier sollte man vielleicht eine Rechnung vorlegen
und: die Indices sind natürlich modulo n zu verstehen
Da G nicht bloss eine (nicht leere) Teilmenge von D, sondern
bezüglich derselben Verknüpfung (=Verkettung von Abbildungen)
eine Gruppe bildet, ist G eine Untergruppe von D.
Die Spiegelung s an der x-Achse ist keine Drehung, gehört
also nicht zu G, aber sehr wohl zu D. Es gilt:
[mm] s(A_k)=A_{-k}
[/mm]
(auch dies kann durch eine kleine Rechnung unterlegt werden,
und auch hier sind die Indices mod n zu verstehen)
Die Menge [mm] \{e, s\} [/mm] (wobei [mm] e=r^0 [/mm] die Identität ist)
ist auch eine Untergruppe von D. Dabei ist [mm] s^{-1}=s
[/mm]
LG Al
|
|
|
| |
|
hallo!
wenn [mm] s(A_{k})=A_{-k} [/mm] ist, so kann man doch nicht mehr folgern, dass [mm] A_{-k} [/mm] eine Ecke des n-Ecks ist. da -k im allgemeinen kleiner null ist.
dann ist [mm] A_{-k}=(cos\bruch{2\pi k}{n},-sin\bruch{2\pi k}{n}). [/mm] Was ja nicht mehr ecke des regelmäßigen n-Ecks ist.
Grüße Elvis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 So 12.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> hallo!
>
> wenn [mm]s(A_{k})=A_{-k}[/mm] ist, so kann man doch nicht mehr
> folgern, dass [mm]A_{-k}[/mm] eine Ecke des n-Ecks ist. da -k im
> allgemeinen kleiner null ist.
Du musst hier, wie Al' schon gesagt hat, modulo n rechnen, dann ist z.B. [mm] $-2\equiv n-2\pmod [/mm] n$.
> dann ist [mm]A_{-k}=(cos\bruch{2\pi k}{n},-sin\bruch{2\pi k}{n}).[/mm]
> Was ja nicht mehr ecke des regelmäßigen n-Ecks ist.
[mm] $A_{-k}=A_{n-k}$, [/mm] das kannst du ja gern mal nachrechnen...
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich habe nun folgendes Problem. Ich soll zeigen, dass für jedes [mm] g\in D_{n} [/mm] gilt dass [mm] det(g)={\pm 1} [/mm] ist.
Nun ist es klar, dass dies für jedes [mm] {g\in G}.
[/mm]
Meine Frage ist nun, wie ich dass auf [mm] D_{n} [/mm] übertragen kann.
Kopfzerbrechen bereitet mir, inwieweit ich die Einschränkung " jede Ecke auf eine andere Ecke abgebildet" beachten soll.
Für eine sehr kleine Hilfestellung wäre ich schon sehr dankbar.
Grüße Elvis.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Mo 13.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Jetzt könnte man das Argument von oben nehmen und sagen, für jedes Element [mm] $d\in D_n$ [/mm] gibt es ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] mit [mm] $d^m=\operatorname{id}$, [/mm] daraus folgt [mm] $\det(d)^m=\det(d^m)=\det(\operatorname{id})=1\gdw \det(d)=\pm [/mm] 1$.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Hallo pelzig!
Vielen Dank für deine Antwort.
> [mm]\det(d)^m=\det(d^m)=\det(\operatorname{id})=1\gdw \det(d)=\pm 1[/mm].
Ich sehe aber irgendwie nicht so recht ein wieso diese Äquivalenz gelten soll.
Könnte ich hier nicht so argumentieren, dass für
[mm] {det((sr)^n)=\pm 1} [/mm] gilt wo [mm] s=\pmat{ 1 & 0 \\ 0& -1}
[/mm]
und r die Drehmatrix ist?UNd das dann irgendwie auf die elemente von [mm] D_{n} [/mm] übertragen?
Viele Grüße Elvis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mo 13.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hallo pelzig!
>
> Vielen Dank für deine Antwort.
>
> > [mm]\det(d)^m=\det(d^m)=\det(\operatorname{id})=1\gdw \det(d)=\pm 1[/mm].
>
> Ich sehe aber irgendwie nicht so recht ein wieso diese
> Äquivalenz gelten soll.
Hmm wieso? Wenn [mm] $x^m=1$ [/mm] ist, ist doch klar dass $|x|=1$ sein muss, also kann (im Reellen) nur [mm] $x=\pm [/mm] 1$ sein... Also zumindest die Implikation [mm] $\Rightarrow$ [/mm] gilt, und auf die kommt es hier an.
> Könnte ich hier nicht so argumentieren, dass für
> [mm]{det((sr)^n)=\pm 1}[/mm] gilt wo [mm]s=\pmat{ 1 & 0 \\ 0& -1}[/mm]
> und r die Drehmatrix ist?
Das verstehe nicht nicht, Warum betrachtest du [mm] $(sr)^n$? [/mm] Was versuchst du hiermit zu zeigen? Dass alle Elemente in $G$ die Behauptung erfüllen?
> UNd das dann irgendwie auf die elemente
> von [mm]D_{n}[/mm] übertragen?
Meiner Meinung nach macht es keinen Sinn, die Behauptung zunächst nur für $G$ zu zeigen, da mir nicht klar ist wie du das auf [mm] $D_n$ [/mm] übertragen willst, du weißt ja erstmal nichts darüber, welche Elemente vielleicht noch in [mm] $D_n$, [/mm] aber nicht in $G$ liegen (auch wenn es anschaulich klar ist, aber das ist nunmal kein Argument). Ich denke der Schlüssel ist wirklich, dass es für jedes [mm] $d\in D_n$ [/mm] eine Zahl [mm] $n\in\IN$ [/mm] gibt, sodass [mm] $d^n=\operatorname{id}$ [/mm] ist, aber ich lasse mich gern eines Besseren belehren.
Gruß, Robert
|
|
|
|
