Nabla Operator < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Do 22.10.2009 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] \overrightarrow{E} [/mm] = -grad [mm] \alpha [/mm] wenn
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{q}{r}
[/mm]
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Ich habe Musterloesung, verstehe ich aber nicht alles, was dort steht. Dort geht so:
[mm] \overrightarrow{E} [/mm] = -q*grad [mm] \bruch{1}{r} [/mm] = q [mm] \bruch{1}{r^{2}}*gradr=q \bruch{1}{r^{2}}*grad \wurzel{\overrightarrow{r}\overrightarrow{r}} [/mm] = q [mm] \bruch{1}{2r^{2}\wurzel{\overrightarrow{r}\overrightarrow{r}}}*2*grad(\overrightarrow{r}\overrightarrow{r})=q \bruch{1}{2r^{3}}*(Nabla\circ\overrightarrow{r})\overrightarrow{r}= q\bruch{\overrightarrow{r}}{r^{3}}
[/mm]
Und verstehe ich nicht, warum, wenn wir in der zweite Zeile schauen, dort steht diese 2 vor grad. Ausserdem verstehe ich nicht warum steht dort dieses Tensor (welche Zusammenhang ist zwischen Nabla und Tensoren - allgemein bin ich mit Tensoren nicht sehr vertraut...?).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Do 22.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie [mm]\overrightarrow{E}[/mm] = -grad [mm]\alpha[/mm] wenn
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{q}{r}[/mm]
>
> Ich habe Musterloesung, verstehe ich aber nicht alles, was
> dort steht. Dort geht so:
> [mm]\overrightarrow{E} = -q*grad \bruch{1}{r} = q \bruch{1}{r^{2}}*gradr=q \bruch{1}{r^{2}}*grad \wurzel{\overrightarrow{r}\overrightarrow{r}} = q \bruch{1}{2r^{2}\wurzel{\overrightarrow{r}\overrightarrow{r}}}*2*grad(\overrightarrow{r}\overrightarrow{r})=q \bruch{1}{2r^{3}}*(Nabla\circ\overrightarrow{r})\overrightarrow{r}= q\bruch{\overrightarrow{r}}{r^{3}}[/mm]
>
> Und verstehe ich nicht, warum, wenn wir in der zweite Zeile
> schauen, dort steht diese 2 vor grad. Ausserdem verstehe
> ich nicht warum steht dort dieses Tensor (welche
> Zusammenhang ist zwischen Nabla und Tensoren - allgemein
> bin ich mit Tensoren nicht sehr vertraut...?).
Diese Musterlösung benutzt einen Rechentrick. Wenn du dich mit dem Nabla-Operator auskennst, leuchtet er dir sofort ein; wenn nicht, dann musst du mühsam nachrechnen.
Das kann man so machen; ich persönlich finde das nicht den besten Weg (siehe ganz unten). Ich schreibe dir auf, wie die Musterlösung funktioniert.
1. Schritt: Kettenregel
[mm] \mathop{\mathrm{grad}} \bruch{1}{r} = - \bruch{1}{r^2} \mathop{\mathrm{grad}} r [/mm]
2. Schritt: [mm] $r=\wurzel{\vec{r}*\vec{r}}$ [/mm] und nochmal die Kettenregel für die Wurzelfunktion:
[mm] \mathop{\mathrm{grad}}\wurzel{\vec{r}*\vec{r}} = \bruch{1}{2 \wurzel{\vec{r}*\vec{r}}} \mathop{\mathrm{grad}} (\vec{r}*\vec{r}) [/mm]
3. Schritt: Ableitung eines Produkts, hier wird der Rechentrick verwendet:
[mm] \mathop{\mathrm{grad}} (\vec{r}*\vec{r}) = \vec{r}* (\nabla \circ \vec{r}) + (\nabla \circ \vec{r})*\vec{r} [/mm]
Diesen Schritt kannst du in Komponenten nachrechnen. Nehmen wir mal die x-Komponente von [mm] $\mathop{\mathrm{grad}} (\vec{r}*\vec{r})$: [/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} (\vec{r}*\vec{r}) = \bruch{\partial \vec{r}}{\partial x}*\vec{r} + \vec{r}* \bruch{\partial \vec{r}}{\partial x} [/mm]
(und genauso für die y- und z-Komponenten).
Es ist
[mm] \bruch{\partial \vec{r}}{\partial x} = \vektor{1\\0\\0}[/mm],
[mm] \bruch{\partial \vec{r}}{\partial x} = \vektor{0\\1\\0} [/mm],
[mm] \bruch{\partial \vec{r}}{\partial x} = \vektor{0\\0\\1}[/mm],
und diese drei kann ich zusammenfassen zum Tensor
[mm] \nabla\circ \vec{r} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} [/mm],
(also gerade eine Einheitsmatrix),
und damit wird aus [mm] \mathop{\mathrm{grad}} (\vec{r}*\vec{r})[/mm]
[mm] \vec{r}* (\nabla \circ \vec{r}) + (\nabla \circ \vec{r})*\vec{r} = 2\vec{r} [/mm]
Wenn du diese Schritte zusammensetzt, bekommst du das gewünschte Ergebnis.
Es geht aber auch anders. Angenommen du hast irgendeine Funktion $f(r)$, deren Gradienten [mm] $\mathop{\mathrm{grad}} [/mm] f(r)$ du berechnen willst. Nach der Kettenregel ist
[mm] \mathop{\mathrm{grad}} f(r) = f'(r) \mathop{\mathrm{grad}} r [/mm]
Und [mm] \mathop{\mathrm{grad}} r [/mm] ist der Einheitsvektor in Richtung von [mm] $\vec{r}$, [/mm] also
[mm] \mathop{\mathrm{grad}} r = \bruch{\vec{r}}{r} [/mm].
(Das kannst du komponentenweise nachrechnen, wenn du mir nicht glaubst.  )
Also ist:
[mm] \mathop{\mathrm{grad}} f(r) = \bruch{f'(r)}{r}\vec{r} [/mm].
Für die Aufgabe musst du nur [mm] $f(r)=\bruch{1}{r}$ [/mm] einsetzen und bekommst sofort die Lösung heraus.
Viele Grüße
Rainer
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