Nach Variablen auflösen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Mi 10.07.2013 | | Autor: | justn |
| Aufgabe | 8 + [mm] 18r_2 [/mm] + ( [mm] \lambda r_1^{-0.5 }r_2^{0.5} [/mm] )
18+ ( [mm] \lambda r_1^{0.5} r_2^{-0.5} [/mm] )
[mm] 2r_1^{0.5} r_2^{0.5} [/mm] -300 |
Lagrange Extremwert bestimmen.
Ich komm bei der Aufgabe absolut nicht klar mit dem Auflösen nach den Variablen. Schreibe morgen Klausur und bräuchte mal bitte dringend Hilfe, da ich echt nur an dieser Aufgabe scheitere.
Vielen lieben Dank
Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Auch dir ein freundliches "Hallo"
Das scheint heutzutage schon zu viel verlangt zu sein...
> 8 + 18r2 + ( Lambda r1^-0.5 [mm]r2^0.5[/mm] )
> 18+ ( Lambda [mm]r1^0.5[/mm] r2^-0.5 )
> [mm]2r1^0.5 r2^0.5[/mm] -300
> Lagrange Extremwert bestimmen.
Jawoll, Sir!!
Wird gemacht!!
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
>
> Ich komm bei der Aufgabe absolut nicht klar mit dem
> Auflösen nach den Variablen. Schreibe morgen Klausur
Da hast du ja noch Zeit ...
> und
> bräuchte mal bitte dringend Hilfe, da ich echt nur an
> dieser Aufgabe scheitere.
Das kann kein Mensch entziffern. Bemühe dich, das sauber einzutippen.
Wir haben einen wunderbaren Formeleditor, der dir jede gewünschte Formel angibt ...
Indizes setze mit dem Unterstrich r_{2} für [mm] $r_2$, [/mm] Exponenten mit dem Dach und geschweiften Klammern r_{1}^{-0,5} etwa für [mm] $r_{1}^{-0,5}$
[/mm]
Wie man ein [mm] $\lambda$ [/mm] schreibt, sage ich dir auch noch: \lambda
Editiere das erstmal, dann sehen wir weiter ...
>
> Vielen lieben Dank
>
>
> Nur für Erst-Poster
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Mi 10.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> 8 + 18r2 + ( Lambda r1^-0.5 [mm]r2^0.5[/mm] )
> 18+ ( Lambda [mm]r1^0.5[/mm] r2^-0.5 )
> [mm]2r1^0.5 r2^0.5[/mm] -300
> Lagrange Extremwert bestimmen.
>
>
> Ich komm bei der Aufgabe absolut nicht klar mit dem
> Auflösen nach den Variablen. Schreibe morgen Klausur und
> bräuchte mal bitte dringend Hilfe, da ich echt nur an
> dieser Aufgabe scheitere.
>
> Vielen lieben Dank
>
>
> Nur für Erst-Poster
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich kann die Kritik von schachuzipus nur teilen !
Noch was: Du verlangst "Auflösen nach den Variablen".
Das geht aber nur bei Gleichungen (oder Ungleichungen).
ich sehe aber nicht eine einzige Gleichung !?
FRED
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> 8 + [mm]18r_2[/mm] + ( [mm]\lambda r_1^{-0.5 }r_2^{0.5}[/mm] )
> 18+ ( [mm]\lambda r_1^{0.5} r_2^{-0.5}[/mm] )
> [mm]2r_1^{0.5} r_2^{0.5}[/mm] -300
>
> Lagrange Extremwert bestimmen.
>
>
> Ich komm bei der Aufgabe absolut nicht klar mit dem
> Auflösen nach den Variablen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich erkläre Dir mal, wie das hier funktioniert:
in den Aufgabenkasten kommt erstmal der Aufgabentext.
Hier etwa:
"Bestimme die Extremwerte der Funktion
[mm] f(r_1,r_2)=...
[/mm]
unter der Nebenbedingung ..."
Nach einer kl. Begrüßung würden wir wissen wollen, was Du bisher zur Lösung der Aufgabe getan hast.
Etwa so:
"Ich möchte die Aufgabe mit dem Lagrangeansatz lösen.
Die Lagrangefunktion ist [mm] L(r_1, r_2,\lambda)=...,
[/mm]
die partiellen Ableitungen sind
[mm] L_{r_1}=...
[/mm]
[mm] L_{r_2}=...
[/mm]
[mm] L_{\lambda}=....
[/mm]
Zu lösen ist nun das Gleichungssystem ...
Hier scheitere ich, weil ..."
So erkennen wir auch gleich, wenn vor dem eigentlichen Problem etwas aus dem Ruder gelaufen ist.
Ich habe bei Deiner Aufgabe nämlich den Verdacht, daß Dir bei den partiellen Ableitungen etwas mißlungen ist.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mi 10.07.2013 | | Autor: | justn |
Hallo, danke für die Antworten. Tut mir leid, dass ich mit dem Formelsystem noch nicht so zu recht komme.
Die Aufgabe ist folgende :
Ein Unternehmen produziert ein Gut X in der Menge x
mit 2 Produktionsfaktoren [mm] r_{1} [/mm] ; [mm] r_{2} [/mm] . [mm] \wurzel{r_{1}}
[/mm]
Die Produktionsfunktion lautet : [mm] x(r_{1};r_{2}) [/mm] = [mm] 2\wurzel{r_{1}}\wurzel{r_{2}}
[/mm]
Die Kosten betragen 8 GE/ME für [mm] r_{1}
[/mm]
und 18 GE/ME für [mm] r_{2}. [/mm] Wie sind beide Produktionsfaktoren zu kombinieren, damit bei Produktion von 300 ME die
Kosten minimal werden? Es genügt, die Extremwertstelle auszurechnen; der Nachweis der Art des
Extremums ist nicht notwendig.
Also habe ich die Lagrange Funktion aufgestellt und diese Ableitungen bekommen, die ihr bereits editiert habt ( danke!!).
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> Ein Unternehmen produziert ein Gut X in der Menge x
> mit 2 Produktionsfaktoren [mm]r_{1}[/mm] ; [mm]r_{2}[/mm]
> Die Produktionsfunktion lautet : [mm]x(r_{1};r_{2})[/mm] =
> [mm]2\wurzel{r_{1}}\wurzel{r_{2}}[/mm]
> Die Kosten betragen 8 GE/ME für [mm]r_{1}[/mm]
> und 18 GE/ME für [mm]r_{2}.[/mm] Wie sind beide
> Produktionsfaktoren zu kombinieren, damit bei Produktion
> von 300 ME die
> Kosten minimal werden? Es genügt, die Extremwertstelle
> auszurechnen; der Nachweis der Art des
> Extremums ist nicht notwendig.
>
> Also habe ich die Lagrange Funktion aufgestellt
Hallo,
hmmm.
Drücke ich mich heute irgendwie undeutlich aus?
Ich hatte doch, um Dir als Neumitglied einen netten Empfang zu bereiten, Dir recht genau gezeigt, was von Dir erwartet wird.
Wie lautet denn die Kostenfunktion?
Und die Lagrangefunktion?
Wir wollen die sehen!
> und diese
> Ableitungen bekommen,
Eben...
LG Angela
> die ihr bereits editiert habt (
> danke!!).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mi 10.07.2013 | | Autor: | justn |
Na die Kostenfuktion ist
K [mm] (r_{1}r_{2}) [/mm] = [mm] 8r_{1} [/mm] + 18 [mm] r_{2} [/mm] = min !
und
x ( [mm] r_{1}r_{2}) [/mm] = 2 [mm] \wurzel{r_{1}r_{2}} [/mm] -300
Also ist die Lagrange-Funktion
L( [mm] r_{1}r_{2}\lambda [/mm] ) = [mm] 8r_{1}+18r_{2}+\lambda [/mm] ( 2 [mm] (r_{1}^{0.5}r_{2}^{0.5}) [/mm] -300 )
Die partiellen Ableitungen habe ich dann gebildet. Die müssten ja eig richtig sein ?! Ich komme bloß bei dieser Aufgabe nicht richtig mit dem Auflösen klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Mi 10.07.2013 | | Autor: | justn |
Ich will nicht, dass ihr die Aufgabe löst. Nur ein kleiner Anreiz wie z.B. löse die 1. Gleichung nach [mm] r_{2} [/mm] auf und setze sie in die 3. ein. Irgendwie sowas.. Dankeschön
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> Na die Kostenfuktion ist
> K [mm](r_{1}r_{2})[/mm] = [mm]8r_{1}[/mm] + 18 [mm]r_{2}[/mm] = min !
> und
> x ( [mm]r_{1}r_{2})[/mm] = 2 [mm]\wurzel{r_{1}r_{2}}[/mm] -300
Hallo,
die Kostenfunktion ist die zu minimierende Funktion, und es ist
K [mm](r_{1}r_{2})= 8r_{1}+ 18 r_{2}[/mm].
Die Nebenbedingung lautet
2 [mm]\wurzel{r_{1}r_{2}}[/mm] -300=0.
>
> Also ist die Lagrange-Funktion
>
> L( [mm]r_{1}r_{2}\lambda[/mm] ) = [mm]8r_{1}+18r_{2}+\lambda[/mm] ( 2
> [mm](r_{1}^{0.5}r_{2}^{0.5})[/mm] -300 )
Genau.
>
> Die partiellen Ableitungen habe ich dann gebildet. Die
> müssten ja eig richtig sein ?!
Nachdem nun die Funktion hier manierlich steht, kann ich Dir verbindlich sagen: nein.
Die Ableitung nach [mm] r_1 [/mm] ist falsch.
Wenn Du die richtigen Ableitungen hast, und sie ordnungsgemäß =0 gesetzt hast,
multipliziere die erste mal mit [mm] r_1, [/mm] die zweite mit [mm] r_2.
[/mm]
Ich denke, dann kommst Du weiter.
Bei Rückfragen (mit rotem Kasten!) bitte die Gleichungen mitposten.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mi 10.07.2013 | | Autor: | justn |
Ah stimmt.
Also
[mm] L(r_{1}) [/mm] = 8 + [mm] \lambda {r_{1^{-0.5}}r_{2^{0.5}}} [/mm]
Dann 0 Setzen
8 + [mm] \lambda \bruch{r_{2^{0.5}}}r_{1^{0.5}} [/mm] = 0
Dann mal [mm] r_{1^{0.5}} [/mm]
8 [mm] \* r_{1^{0.5}} [/mm] + [mm] \lambda r_{2^{0.5}} [/mm] = 0
Und dann? :( Vielleicht
[mm] r_{1^{0.5}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{8} \lambda r_{2^{0.5}}?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mi 10.07.2013 | | Autor: | justn |
$ [mm] 2r_1^{0.5} r_2^{0.5} [/mm] = 300$
Also lös ich jetzt diese Gleichung nach r1 auf.
[mm] \wurzel{r_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{150}{\wurzel{r_2}}
[/mm]
Korrekt?
Dann setze ich dies z.B. in die 2. Gleichung ein :
18 + $ [mm] \lambda r_1^{0.5} r_2^{-0.5} [/mm] $
Also :
18 + [mm] \lambda \bruch{150}{\wurzel{r_2}} [/mm] geteilt durch [mm] \wurzel{r_2} [/mm]
( Weiß leider nicht, wie ich einen Doppelbruch mache ). Dann kürze ich [mm] \wurzel{r_2}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{18}{150} [/mm] ?
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Hallo nochmal,
> [mm]2r_1^{0.5} r_2^{0.5} = 300[/mm]
>
> Also lös ich jetzt diese Gleichung nach r1 auf.
>
> [mm]\wurzel{r_{1}}[/mm] = [mm]\bruch{150}{\wurzel{r_2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Korrekt?
>
> Dann setze ich dies z.B. in die 2. Gleichung ein :
>
> 18 + [mm]\lambda r_1^{0.5} r_2^{-0.5}[/mm] =0
Das ist sonst keine Gleichung!
>
> Also :
> 18 + [mm]\lambda \bruch{150}{\wurzel{r_2}}[/mm] geteilt durch
> [mm]\wurzel{r_2}[/mm]
>
> ( Weiß leider nicht, wie ich einen Doppelbruch mache ).
> Dann kürze ich [mm]\wurzel{r_2}[/mm]
Oha, du solltest an deiner Bruchrechnung arbeiten ...
[mm]18+\frac{\lambda\cdot{}\frac{150}{\sqrt{r_2}}}{\sqrt{r_2}}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow 18+\frac{150\lambda}{\sqrt{r_2}\cdot{}\sqrt{r_2}}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow 18+\frac{150\lambda}{r_2}=0[/mm]
Nun zB. nach [mm]\lambda[/mm] auflösen und in [mm]L_{r_1}=0[/mm] einsetzen.
Damit bekommst du [mm]r_2[/mm] und dann durch Rückwärtseinsetzen die anderen Variablen ...
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]-\bruch{18}{150}[/mm] ?
Fast, ich komme auf [mm]\lambda=-\frac{18}{150}r_2[/mm], was sich gekürzt schreiben lässt als [mm]\lambda=-\frac{3}{25}r_2[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mi 10.07.2013 | | Autor: | justn |
Okay danke.. Ja der Fehler bei der Bruchrechnung war echt hart.
Also habe ich jetzt aus der 3. Gleichung bekommen :
$ [mm] \wurzel{r_{1}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{150}{\wurzel{r_2}} [/mm] $
und aus der 2. :
$ [mm] \lambda=-\frac{18}{150}r_2 [/mm] $
Dies setz ich jetzt in die 1. Gleichung ein und erhalte :
8 + [mm] -\frac{18}{150}r_2\* \bruch{\wurzel{r2}}{\bruch{150}{\wurzel{r2}}} [/mm] = 0
Und dann muss ich nach [mm] r_{2} [/mm] auflösen. Wie fang ich am besten an? Tut mir leid..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 10.07.2013 | | Autor: | justn |
Also
8 + $ [mm] -\frac{18}{150}r_2* \bruch{\wurzel{r2}}{\bruch{150}{\wurzel{r2}}} [/mm] $ = 0 | * [mm] \bruch{\wurzel{r2}}{150}
[/mm]
Dann kommt :
8 * [mm] \bruch{\wurzel{r2}}{150} [/mm] - [mm] \frac{18}{150}r_2* {\wurzel{r2}} [/mm] = 0
Oder ? Dann Vielleicht * 150 ?
8 * [mm] \wurzel{r_{2}} [/mm] - 18 * [mm] r_{2} [/mm] * [mm] \wurzel{r_{2}} [/mm] = 0
Also ist [mm] r_{2}^{2} [/mm] = 10
[mm] r_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{10} [/mm] ?
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Schon wieder nicht als Frage gestellt ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
> Also
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> 8 + [mm]-\frac{18}{150}r_2* \bruch{\wurzel{r2}}{\bruch{150}{\wurzel{r2}}}[/mm] = 0 | * [mm]\bruch{\wurzel{r2}}{150}[/mm]
>
> Dann kommt :
>
> 8 * [mm]\bruch{\wurzel{r2}}{150}[/mm] - [mm]\frac{18}{150}r_2* {\wurzel{r2}}[/mm] = 0
Was ist denn hier passiert? Aus + wird *, kein Mensch blickt hier durch ...
Nur die Brüche:
[mm]-\frac{18}{150}r_2\cdot{}\frac{\sqrt{r_2}}{\red{\frac{150}{\sqrt{r_2}}}}[/mm]
[mm]=-\frac{18r_2}{150}\cdot{}\sqrt{r_2}\cdot{}\red{\frac{\sqrt{r_2}}{150}}[/mm]
[mm]-\frac{18r_2^2}{150\cdot{}150}[/mm]
Nun aber ...
>
> Oder ? Dann Vielleicht * 150 ?
>
> 8 * [mm]\wurzel{r_{2}}[/mm] - 18 * [mm]r_{2}[/mm] * [mm]\wurzel{r_{2}}[/mm] = 0
>
> Also ist [mm]r_{2}^{2}[/mm] = 10
>
> [mm]r_{2}[/mm] = [mm]\wurzel{10}[/mm] ?
>
Nein!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 10.07.2013 | | Autor: | justn |
Also :
8 + $ [mm] -\frac{18r_2^2}{150\cdot{}150} [/mm] $ = 0 | * 22.500
8* 22.500 - [mm] 18r_2^2 [/mm] = 0
- [mm] 18r_2^2 [/mm] = - 180.000 | : -18
[mm] r_2^2 [/mm] = 10.000
[mm] r_2 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 100
? :D Juhuuuu ich glaube das ist richtig
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Hallo,
jo, [mm] $r_2=\pm [/mm] 100$ passt!
Nun schnell die anderen Werte berechnen und interpretieren.
Was heißt etwa [mm] $r_2=-100$?
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mi 10.07.2013 | | Autor: | justn |
Hey,
also
[mm] r_{2} [/mm] ist [mm] \pm [/mm] 225
[mm] \lambda [/mm] ist [mm] \pm [/mm] 12
Negative Zahlen sind ökonomisch nicht sinnvoll.
Also sind die kosten pro Stück :
K ( 225;100 ) = ( 8 * 225 ) + ( 18 * 100 ) = 3.600 GE
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Hallo justn,
> Hey,
>
> also
> [mm]r_{2}[/mm] ist [mm]\pm[/mm] 225
> [mm]\lambda[/mm] ist [mm]\pm[/mm] 12
>
> Negative Zahlen sind ökonomisch nicht sinnvoll.
>
> Also sind die kosten pro Stück :
>
> K ( 225;100 ) = ( 8 * 225 ) + ( 18 * 100 ) = 3.600 GE
>
Gruss
MathePower
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