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Also ich habe ein Problem!
Ich habe heute mein Abiturergebnis bekommen und bin eigentlich sehr positiv überrascht, wäre da nicht ne Abweichung in Mahte. So mein Mathelehrer sage nun, dass er mir die Chance geben würde zu zeigen, dass ich "Aufgabe 3" doch verstanden habe (hab ich aber nicht).
So Aufgabe 3 war folgendermaßen:
Es waren drei Basisvektoren gegeben und drei Bilder! Nun sollte das ganze zuerst in eine Abbildungsmatrix umgewandelt werden und dann die Urbilder, usw. berechnet werden. Dummerweise konnte ich die Matrix nicht bestimmen und daher die gesamte Aufgabe nicht weiterrechnen.
Also wie kann ich aus Bildern und Basisvektoren eine Abbildungsmatrix erzeugen.
Bin über jede Antwort dankbar!
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mr.arminia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> So Aufgabe 3 war folgendermaßen:
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> Es waren drei Basisvektoren gegeben und drei Bilder! Nun
Sind das die Basisvektoren [mm]b_{1} ,\;b_{2} ,\;b_{3}[/mm]
und deren Bilder [mm]f(b_{1} ),\;f(b_{2} ),\;f(b_{3} )[/mm]?
Sind die Basisvektoren die Einheitsvektoren, dann sieht die Abbildungsmatrix besonders einfach aus.
> sollte das ganze zuerst in eine Abbildungsmatrix
> umgewandelt werden und dann die Urbilder, usw. berechnet
> werden. Dummerweise konnte ich die Matrix nicht bestimmen
> und daher die gesamte Aufgabe nicht weiterrechnen.
Gruß
MathePower
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Also ich komme noch nicht wirklich mit diesem Forum klar, aber der erste Teil stimmt! So war das in der Aufgabe!
Es wäre sehr nett, wenn mir vielleicht wer ne Beispielaufgabe gibt. Das wird wohl meine Nachprüfung werden.
Naja bischen dumm wenn man mit manchen sachen einfach nicht klar kommt, die eigentlich ganz einfach sein sollen!
Schonmal größten Dank für eure Hilfe!!!
mr. arminia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Hexe |
Also allgemein gilt f(b)=A*b also im [mm] \IR^3 \vektor{y_1\\y_2\\y_3}=\vektor{a_{11}b_1+a_{12}b_2+a_{13}b_3\\
a_{21}b_1+a_{22}b_2+a_{23}b_3\\a_{31}b_1+a_{32}b_2+a_{33}b_3}
[/mm]
Mit drei b's und zugehörogen f(b)'s ist also die Matrix eindeutig festgelegt und du musst die Einträge nur noch ausrechnen
Beispiel [mm] b_1=e_1; b_2=e_2;b_3=e_3 [/mm] ; [mm] f(b_1)=(2,5,1)^T f(b_2)=(-2,3,7)^T f(b_3)=(-1,0,4)^T
[/mm]
Dann ist die Matrix [mm] A=\pmat{2&-2&-1\\5&3&0\\1&7&4}
[/mm]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:36 Mi 01.06.2005 | | Autor: | mr.arminia |
Na toll, also ist z.B. f(b1) die erste Spalte meiner Matrix.
Hätte mir das vorher einer gesagt, hätte ich mir diese schöne Nachprüfung auch sparen können.
Aber eine Frage fällt mir noch ein (leider weiß ich nicht mehr wirklich, wie sie formuliert war): Einer der angegebenen Vektoren beschreibt eine Funktion. Aber wie???
Schon mal Danke für die Hilfe und großes Lob für diese Seite!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mi 01.06.2005 | | Autor: | taura |
Hi!
> Na toll, also ist z.B. f(b1) die erste Spalte meiner
> Matrix.
Das geht nur, wenn deine Basis auch wirklich die kanonische Basis ist, sprich [mm](1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)[/mm]. Sonst musst du ein Gleichungssystem lösen!
Wenn du als Basis die Vektoren [mm]u_1, u_2, u_3[/mm] gegeben hast und deren Bilder [mm]f(u_1), f(u_2), f(u_3)[/mm], musst du folgendes GS lösen:
[mm]f(u_1)=(a_1*u_1, a_2*u_1, a_3*u_1)[/mm]
[mm]f(u_2)=(a_1*u_2, a_2*u_2, a_3*u_2)[/mm]
[mm]f(u_3)=(a_1*u_3, a_2*u_3, a_3*u_3)[/mm]
wobei [mm]a_1, a_2, a_3[/mm] die 1., 2. und 3. Zeile der gesuchten Matrix und [mm]*[/mm] das Skalarprodunkt sind.
> Hätte mir das vorher einer gesagt, hätte ich mir diese
> schöne Nachprüfung auch sparen können.
>
> Aber eine Frage fällt mir noch ein (leider weiß ich nicht
> mehr wirklich, wie sie formuliert war): Einer der
> angegebenen Vektoren beschreibt eine Funktion. Aber wie???
Zu dieser Frage kann ich dir leider nicht weiterhelfen, denn ich verstehe nicht was damit gemeint soll...
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Also ich habe die Frage ja schon einmal gestellt, aber klar wird mir das trotzdem noch nicht.
Vielleicht kann mir das ja wer an einen kleinen Beispiel klar machen.
Mein Problem ist nun mal, dass mein guter Lehrer das Thema für die Nachprüfung sehr eng eingegränzt hat ("dann beweisen Sie mir, dass sie das verstanden haben"  ) Naja eigentlich habe ich ja alles verstanden, aber das mit den Abbildungen, was wir lustigerweise nur ca. zwei Stunden behandelt haben und Abituraufgabe wurde, habe ich bein besten Willen nicht kapiert.
Also kann mir einer vielleicht einer eine Beispielaufgabe geben (und sie vorrechnen!?!?!):
ungefährer Wortlaut der berüchtigten dritten Aufgabe:
"Gegeben sind die Vektoren A,B,C und D,E,F. An A,B,C wird ein Vektorraum aufgehangen, D,E,F sind Bilder dieses Vektorraumes. .......
1. Abbildungsmatrix bestimmen.
2. Kern, Bild, Urbild, Menge der Bilder
...
...
So dann standen da die 6 Vektoren."
Und dann kam meine Verzweifelung!
So ich hoffe, dass mir einer so eine Aufgabe mal vorrechnen kann, da ich das am Mittwoch sicherlich machen muss.
Naja wenn ich nicht hingehe falle ich nur n zehntel Punkt im Abi runter, aber sieht ein bischen dumm aus, wenn ich immer zw. 13 und 14 Punkte in Mathe habe und dann auf einemal nur 6 (wenn ich nicht da bin oder die Prüfung verdamt schlecht läuft)
Also lange Rede kurzer Sinn: "Hilfe" und danke schonmal im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 02.06.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo mr!
> "Gegeben sind die Vektoren A,B,C und D,E,F. An A,B,C wird ein Vektorraum aufgehangen, D,E,F sind Bilder dieses Vektorraumes. .......
Diese Aussage verstehe ich nicht. Soll es nicht heißen: es sei ein dreidimensionaler Vektorraum $V$ mit einer Basis [mm] $\{A,B,C\}$ [/mm] und ferner eine lineare Abbildung [mm] $f:V\to [/mm] V$ mit $f(A)=D, f(B)=E, f(C)=F$ gegeben. Das würde für mich mehr Sinn machen, Aufgabe wäre es dann, die gegebene lineare Abbildung zu untersuchen.
Sehe ich das richtig?
Liebe Grüße,
Hanno
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stimmt, nur hat er das wirklich mit aufgehangen oder so bezeichnet!!!
wenn da jemand ein beispiel hat wäre das toll!!
danke und tschüs
mr.arminia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo mr.arminia!
Lies dir mal am besten ![[]](/images/popup.gif) diesen sehr guten Artikel zu dem Thema in Ruhe durch. Er enthält auch Beispiele. Wenn du Fragen dazu hast, kannst du diese gerne hier im Forum stellen.
Viele Grüße
Julius
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Hallo mr.arminia,
> Also ich habe die Frage ja schon einmal gestellt, aber klar
> wird mir das trotzdem noch nicht.
> Vielleicht kann mir das ja wer an einen kleinen Beispiel
> klar machen.
> Mein Problem ist nun mal, dass mein guter Lehrer das Thema
> für die Nachprüfung sehr eng eingegränzt hat ("dann
> beweisen Sie mir, dass sie das verstanden haben" ) Naja
> eigentlich habe ich ja alles verstanden, aber das mit den
> Abbildungen, was wir lustigerweise nur ca. zwei Stunden
> behandelt haben und Abituraufgabe wurde, habe ich bein
> besten Willen nicht kapiert.
>
> Also kann mir einer vielleicht einer eine Beispielaufgabe
> geben (und sie vorrechnen!?!?!):
> ungefährer Wortlaut der berüchtigten dritten Aufgabe:
>
> "Gegeben sind die Vektoren A,B,C und D,E,F. An A,B,C wird
> ein Vektorraum aufgehangen, D,E,F sind Bilder dieses
> Vektorraumes. .......
> 1. Abbildungsmatrix bestimmen.
> 2. Kern, Bild, Urbild, Menge der Bilder
> ...
> ...
>
> So dann standen da die 6 Vektoren."
> Und dann kam meine Verzweifelung!
>
> So ich hoffe, dass mir einer so eine Aufgabe mal vorrechnen
> kann, da ich das am Mittwoch sicherlich machen muss.
>
> Naja wenn ich nicht hingehe falle ich nur n zehntel Punkt
> im Abi runter, aber sieht ein bischen dumm aus, wenn ich
> immer zw. 13 und 14 Punkte in Mathe habe und dann auf
> einemal nur 6 (wenn ich nicht da bin oder die Prüfung
> verdamt schlecht läuft)
>
> Also lange Rede kurzer Sinn: "Hilfe" und danke schonmal im
> Voraus
Warum fragst du nicht an Hand der Antworten zu deiner vorigen Frage weiter?
Vor allem Hexe hat dir doch schon viele Tipps gegeben!
Wir kennen nun wirklich nicht deine Abituraufgabe, aber du erinnerst dich vielleicht noch an die genauen Punkte, die gegeben waren?
Damit kennst du in der Gleichung [m] \vektor{y_1\\y_2\\y_3}=\vektor{a_{11}b_1+a_{12}b_2+a_{13}b_3\\ a_{21}b_1+a_{22}b_2+a_{23}b_3\\a_{31}b_1+a_{32}b_2+a_{33}b_3} [/m]
[mm] \vec{y} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] und solltest die Matrix A wohl berechnen können.
Versuch's mal und berichte, bzw. stelle zu deiner Rechnung konkrete Fragen.
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Also hab mir den Artikel mal angeguckt, super ding!!!
Aber ich kann meine Matrix doch auch auf folgende weise erstellen:
also ich nehme als Matrix:
[mm] \pmat{ a1 & b1 & c1 \\ a2 & b2 & c2 \\ a3 & b3 & c3 }
[/mm]
Und als Vektorten die aus dem Beispiel also die Basisvektoren:
[mm] \vektor{ 2 \\ 1 \\ 0} \vektor{ 3 \\ 0 \\ 2} \vektor{ 0 \\ 5 \\ 6}
[/mm]
Und als Abbildungen:
[mm] \vektor{ 5 \\ 0 \\ 1} \vektor{ 0 \\ 3 \\ 1} \vektor{ 0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
So nun würde ich ein GLS aufstellen (da wir den "GaussAlgorithmus" nicht behandelt haben):
Also:
2*a1+1*b1=5
2*a2+1*b2=0
2*a3+1*b3=1
usw.
Demnach würde ich ähnlich der Berechnung eines Fixvektors:
Matrix*Basisvektor=Bild
So stimmt das denn vom Prinzip her??
Schonmal danke für die Antworten
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also ich kann Dir sagen, ich als Informatiker musste letztes Semester ähnliche Aufgaben lösen, und ich persönlich bevorzuge auch das Gleichungssystem ... das fällt mir persönlich leichter. Und ich hätte meine Matrix genau so gesucht, wie DU es eben beschrieben hast ... 3 Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten...und dann halt lösen.
Gruß JROppenheimer
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Danke, also ist das System wohl richtig. Das Problem ist ja nur, dass es im Endeffekt 9 gleichungen sind und drei unbekannte, da ich ja drei Basen und drei Bilder habe.
Aber wenn das stimmt, dass ich einfach diese 9 Gleichungen (in der Prüfung werden da wohl einige wegfallen, aus Zeitgründen), dann größten Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mo 06.06.2005 | | Autor: | taura |
> Danke, also ist das System wohl richtig. Das Problem ist ja
> nur, dass es im Endeffekt 9 gleichungen sind und drei
> unbekannte, da ich ja drei Basen und drei Bilder habe.
Naja, nicht ganz, du hast ja auch 9 Unbekannte, denn du hast ja neun Einträge in deiner gesuchten Matrix. Somit hast du 9 Gleichungen mit 9 Unbekannten, also ist deine Matrix auch eindeutig bestimmt, denn du bekommst ja für jede Unbekannte eine eindeutige Lösung. Aber lass dich von diesem Gleichungssystem nicht abschrecken, denn meißtens werden die Aufgaben so gestellt, dass man einige der Variablen direkt ablesen kann, oder zumindest sehr schnell herausfinden kann.
> Aber wenn das stimmt, dass ich einfach diese 9 Gleichungen
> (in der Prüfung werden da wohl einige wegfallen, aus
> Zeitgründen), dann größten Danke!
Ich wünsch dir viel Glück für deine Prüfung!
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