Nachweis Bijektivität < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:22 Mo 05.11.2018 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Funktion f: [mm] \IN_0 [/mm] X [mm] \IN_0 \to \IN_0 [/mm] mit f(k,n) = [mm] 2^k*(2n+1)-1 [/mm] bijektiv ist. |
Hallo zusammen,
mir ist zwar schon klar, dass die Funktion bijektiv ist, die Frage ist nur, wie man das mathematisch exakt aufschreiben kann.
Ich habe mir folgendes überlegt:
Nachweis Injektivität:
Sei y = [mm] 2^k*(2n+1) [/mm] - 1.
A) Wenn y gerade ist, dann ist y + 1 = [mm] 2^k*(2n+1) [/mm] ungerade.
Somit muss k = 0 sein und es gibt ein eindeutiges n mit y +1 = 2n+1.
B) Wenn y ungerade ist dann ist y + 1 = [mm] 2^k*(2n+1) [/mm] gerade.
Jede gerade Zahl kann als eindeutiges Produkt einer Zweierpotenz mit einer ungeraden Zahl dargestellt werden.
Nachweis Surjektivität:
Zu zeigen ist, dass jede Zahl aus [mm] \IN_0 [/mm] erreicht werden kann.
Wie kann ich das formal aufschreiben, dass dem so ist ?
Auch der Fall B) bei der Injektivität finde ich so noch recht schwammig hingeschrieben, mir fällt aber nichts besseres ein.
Kann mir jemand von euch weiterhelfen ?
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mo 05.11.2018 | | Autor: | hippias |
> Zeige, dass die Funktion f: [mm]\IN_0[/mm] X [mm]\IN_0 \to \IN_0[/mm] mit
> f(k,n) = [mm]2^k*(2n+1)-1[/mm] bijektiv ist.
> Hallo zusammen,
>
> mir ist zwar schon klar, dass die Funktion bijektiv ist,
> die Frage ist nur, wie man das mathematisch exakt
> aufschreiben kann.
>
> Ich habe mir folgendes überlegt:
> Nachweis Injektivität:
> Sei y = [mm]2^k*(2n+1)[/mm] - 1.
Achtung, wenn Du so den Beweis der Injektivität so anfängst, dann könnte ein oberflächlicher Leser vermuten, dass Du Injektivität mit Surjektivität verwechselst.
>
> A) Wenn y gerade ist, dann ist y + 1 = [mm]2^k*(2n+1)[/mm] ungerade.
> Somit muss k = 0 sein und es gibt ein eindeutiges n mit y
> +1 = 2n+1.
>
> B) Wenn y ungerade ist dann ist y + 1 = [mm]2^k*(2n+1)[/mm] gerade.
> Jede gerade Zahl kann als eindeutiges Produkt einer
> Zweierpotenz mit einer ungeraden Zahl dargestellt werden.
Daran ist nichts auszusetzen, wenn die von Dir zitierten Aussagen nicht weiter bewiesen werden müssen. Ich würde aber auf jeden Fall noch ergänzen, dass $k$ und $n$ jeweils aus [mm] $\IN_{0}$ [/mm] gewählt werden können.
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>
> Nachweis Surjektivität:
> Zu zeigen ist, dass jede Zahl aus [mm]\IN_0[/mm] erreicht werden
> kann.
> Wie kann ich das formal aufschreiben, dass dem so ist ?
Ich würde die selben Sätzen anwenden, die Du auch schon oben verwendet hast.
>
> Auch der Fall B) bei der Injektivität finde ich so noch
> recht schwammig hingeschrieben, mir fällt aber nichts
> besseres ein.
>
> Kann mir jemand von euch weiterhelfen ?
>
> Viele Grüße
> Rubi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mo 05.11.2018 | | Autor: | luis52 |
Moin, zur Injektivitaet: Wenn du nicht, wie zurecht beanstandet, mit einer unbewiesenen Behauptung argumentieren moechtest, so meine ich, dass der direkte Weg schnell zum Ziel fuehrt: Seien [mm] $k,n,l,m\in\IN_0$ [/mm] mit $f(k,n)=f(l,n)$. Zeige, dass dann folgt $k=l$ und $n=m$.
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