Nachweis Matrix hermitesch < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich will für eine bestimmte Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 1-2i \\ 1+2i & 6 }
[/mm]
nachweisen, dass diese hermitesch ist.
Also habe ich in meinem Script geblättert und habe folgendes gefunden:
1. A ist hermitesch: Alle Eigenwerte sind stets reell. Zu verschiedenen EW gehörige EV sind zueinander (komplex) orthogonal.
2. Eine quadratische Matrix A e C^(nxn) heißt hermitesch, wenn (A* [mm] )^T [/mm] = A gilt.
3. aik = - aki
Punkt eins kann ich an meiner Matrix ohne Probleme nachweisen. Mich würde nur interessieren, was (A* [mm] )^T [/mm] = A bedeutet?! Vielleicht kann das ja mal jmd. an einem einfachen Beispiel erklären?
Weiterhin würde ich gern wissen wollten, was aik = - aki bedeutet? Natürlich ist klar, dass hier die Spalten mit den Zeilen vertauscht werden und dann eine Negation stattfindet. Allerdings wird hier ja gar nicht alles negiert oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Maiko!
Ich würde sagen ich erkläre die Bedingung
[mm] $(A^{\*})^T=A$
[/mm]
mal an diesem Beispiel!
Also, der "*" soll die komplexe Konjugation (komponentenweise) bedeuten, also: [mm] $(x+iy)^{\*} [/mm] = x-iy$.
Wir haben also hier:
[mm] $A^{\*} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1+2i \\ 1-2i & 6}$.
[/mm]
So und jetzt transponieren wir noch (spiegeln also an der Diagonalen) und erhalten:
[mm] $(A^{\*})^T [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1-2i \\ 1+2i & 6}$.
[/mm]
So, und das ist gleich $A$. Also ist die Matrix hermitesch! 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Danke für deine schnelle und einleuchtende Antwort.
Könnte mir noch jmd. die anderen zwei Punkte erläutern?
Zu der oben beschriebenen Matrix gibt es zwei Eigenwerte:
[mm] \lambda [/mm] 1 = 7
[mm] \lambda [/mm] 2 = 1
Daraus resultieren folgende Eigenvektoren:
[mm] \underline{x1} [/mm] = t* [mm] \vektor{1-2i \\ 5}
[/mm]
[mm] \underline{x2} [/mm] = t* [mm] \vektor{-1+2i \\ 1}
[/mm]
Wenn ich das Skalarprodukt von beiden bilde, um zu überprüfen, ob sie senkrecht aufeinander stehen, komme ich leider nicht auf 0. Eigentlich müsste ja aber 0 rauskommen, wenn die Matrix wirklich hermetisch ist.
Wie ist das zu erklären?
Besonders würde mich auch noch interessieren, was es mit [mm] a_{ik} [/mm] = [mm] \overline{a}_{ki} [/mm] auf sich hat?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Sorry, dass ich mich erst so spät melde.
Ich habe mir deine Antwort nochmal angesehen.
Die Eigenvektoren, die ich heraus bekomme, waren wirklich richtig. Diese stehen so auch im Lösungsheft.
Meine Frage also:
Warum kommt dann beim Skalarprodukt nicht =0 raus?
Das müsste ja eigentlich der Fall sein, wenn die Matrix hermetisch ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Gerade habe ich nochmal nachgerechnet.
Wenn ich mit meinem TI das Skalarprodukt meiner zwei Eigenvektoren bilde (dafür gibt es eine bestimmte Funktion), dann komme ich auf Skalarprodukt = 0.
Wenn ich allerdings das Skalarprodukt von Hand bilden möchte, dann komme ich auf 8 + 4i.
Wie ist das zu erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Kann es sein, dass man das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren bildet, indem man einen von beiden komplex konjugiert?
Dann würde es nämlich stimmen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Maiko!
Deine Eigenvektoren stimmen, da hat sich Micha vertan.
Weiterhin stehen sie aber auch aufeinander senkrecht, denn es gilt:
[mm] $\langle \pmat{ 1-2i\\ 5}, \pmat{-1+2i\\ 1} \rangle_{\IC} [/mm] = (1-2i) [mm] \cdot [/mm] (-1-2i) + 5 [mm] \cdot [/mm] 1 = -1 - 4+5=0$.
Beachte bitte, dass
[mm] $\langle [/mm] x,y [mm] \rangle_{\IC} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n x_i \cdot \overline{y_i}$
[/mm]
gilt.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Ok, vielen Dank Julius.
Das habe ich gemeint.
Wenn ich also das Skalarprodukt 2er komplexer Vektoren bilde, muss ich einen von ihnen komplex konjugieren.
Das müsste so stimmen.
Falls nicht, bitte ich um Korrektur 
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