Nachweis Stammfunktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Weisen Sie nach, dass die Funktion F(x)=5/2ln(x²+1)-x² (x [mm] \varepsilon [/mm] D(F)) eine Stammfunktion der Funktion f ist.
f(x) = [mm] 3x-2x^3 [/mm] / x²+1 |
Hallo,
ich bearbeite gerade o.g. Aufgabe. Ich würde die Stammfunktion ableiten und damit zeigen, dass es eine Stammfunktion ist. Leider weiß ich nicht wie man den ln ableitet (und auch nicht wie man ihn integriert) und wie ich (x²+1) ableiten soll. Dort hätte ich mit der Binomischen Formel die Klammern aufgelöst und anschließend abgeleitet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Sa 28.03.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo,
f(x)=ln(x) [mm] f'(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
f(x)=ln(x²+1) [mm] f'(x)=\bruch{1}{x²+1}*2x [/mm]
Hier musst du die Kettenregel anweden. "Innere mal äußere Ableitung"!
Jetzt solltest du weiterkommen. Dein Weg abzuleiten und es damit nachzuweisen ist okay. Kannst zur Übung ja auch den anderen Weg nehmen, über die Integration, welcher allerdings schwerer ist
LG
xPae
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wobei x²+1 die innere Funktion und ln die äußere Funktion, oder?
Wobei ich es dann doch nicht erst ableiten muss? *verwirrtdreinschau*
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Sa 28.03.2009 | | Autor: | xPae |
Hi,
habe Dir die Ableitung doch schon hingeschrieben ;) Aber du hast recht:
f(x)=ln(x²+1) f'(x) = [mm] \bruch{1}{x²+1}*2x [/mm]
[mm] \bruch{1}{x²+1} [/mm] = äußere Ableitung
2x = innere Ableitung.
jetzt musst du nur noch -x² ableiten und den Faktor [mm] \bruch{5}{2} [/mm] nicht vergessen, dann kommst du drauf! ;)
Liebe Grüße
xPae
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Es tut mir leid, aber ich komm mit der Kettenregel nicht klar (noch nicht wirklich oft benutzt).
heißt das ich muss einfach nur 2x * 1/x²+1 rechnen?
Wenn ich das mache komm ich auf folgendes Ergebnis: 2x / [mm] 2x^3+2x
[/mm]
wie rechne ich das dann aber mal 5/2?
Ich glaub ich muss mal ne Mathe - Pause machen...ich steh total aufm Schlauch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Sa 28.03.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo ,
wir haben die Funktion:
[mm] F(x)=\bruch{5}{2}*ln(x²+1)-x² [/mm]
[mm] \bruch{5}{2} [/mm] ist ein faktor, nach der Faktorregel bleibt dieser stehen.
Da die Funktion aus einer DIfferenez besteht, leiten wir [mm] \bruch{5}{2}*ln(x²+1) [/mm] und -x² "unabhängig voneinander ab".
F'(x) = [mm] \bruch{5}{2}*\bruch{1}{x²+1}*2x [/mm] - 2x
[mm] =\bruch{5*2x}{2*(x²+1)}-2x [/mm]
[mm] =\bruch{5x}{x²+1}-\bruch{2x*(x²+1)}{x²+1} [/mm]
[mm] =\bruch{5x}{x²+1}-\bruch{2x^{3}+2x}{x²+1} [/mm]
[mm] =\bruch{5x}{x²+1}-\bruch{2x^{3}}{x²+1}-\bruch{2x}{x²+1}
[/mm]
Jetzt solltest du keine Schwierigkeiten mehr haben. Schau dir unbedingt noch einmal Kettenregel an. Die wirst du oft brauchen zur Übung leite doch mal: f(x)=cos(3x+5) ab. Denke an "Äußere mal Innere"
Viel Glück
LG
xPae
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