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Weisen sie nach, dass die Abbildung f(n) [mm] \IN \to \IZ [/mm] gemäß:
- [mm] \bruch{(n-1)}{2} [/mm] falls n ungerade
f(n):= [mm] \bruch{n}{2} [/mm] falls n gerade
bijektiv ist und geben sie die umkehrabbildung an!
tja das ist die aufgabe habe keinen schimmer wie ich die lösen soll habe schon vieles probiert!
vielleicht kann mir mal bitte die aufgabe vorrechnen!
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mo 25.10.2004 | | Autor: | KingSebtor |
das " - " soll für den ganzen bruch stehen!
naja muss noch etwas über mit dem editor 
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Guten Morgen KingSebtor!
Die Hinweise vom letzten Mal scheinen noch nicht gereicht zu haben... also nun etwas konkreter:
Sei $f: [mm] \IN \to \IZ$ [/mm] definiert durch:
$f(n) := [mm] -\frac{n-1}{2}$ [/mm] falls $n$ ungerade
$f(n) := [mm] \frac{n}{2}$ [/mm] falls $n$ gerade
Um diese Abbildung geht es. Zeigen wir zunächst die Injektivität.
Seien also $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] gegeben mit $f(n) = f(m)$. Als erstes stellen wir fest, dass falls $n$ ungerade, so folgt $f(n) [mm] \leq [/mm] 0$ aus der Definition von $f$. Und falls $n$ gerade, so folt automatisch $f(n) > 0$ aus der gleichen Definition.
Da ja $f(m) = f(n)$ vorausgesetzt ist, müssen entweder $m$ und $n$ beide ungerade oder beide gerade sein.
Fall 1: $m$ und $n$ sind ungerade.
Dann gilt:
[mm] $-\frac{n-1}{2} [/mm] = - [mm] \frac{m-1}{2} \Leftrightarrow [/mm] n-1 = m-1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] n = m$.
Fall 2: $m$ und $n$ sind beide gerade.
Dann aber gilt:
[mm] $\frac{n}{2} [/mm] = [mm] \frac{m}{2} \Leftrightarrow [/mm] m = n$.
In beiden Fällen sind wir fertig.
Zur Surjektivität: Sei $z [mm] \in \IZ$ [/mm] beliebig vorgegeben. Gesucht ist ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $f(n) = z$.
Fall 1: $z > 0$
Dann definiere $n := 2z [mm] \in \IN$. [/mm] Damit ist $n$ gerade und die Definition von $f$ liefert: $f(n) = [mm] \frac{n}{2} [/mm] = [mm] \frac{2z}{2} [/mm] = z$
Fall 2: $z [mm] \leq [/mm] 0$
In dem Fall definiere $n := -(2z - 1)$. Denn aus $z [mm] \leq [/mm] 0$ folgt $2z -1 [mm] \leq [/mm] -1$ und damit $n [mm] \geq [/mm] 1$, also $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Außerdem ist $n$ sicher ungerade ($n = -2z + 1$) und daher folgt:
$f(n) = [mm] -\frac{n-1}{2} [/mm] = - [mm] \frac{-2z}{2} [/mm] = z$.
Damit ist der Beweis der Surjekitivität abgeschlossen.
Die Umkehrabbildung steckt ebenfalls im Beweis versteckt. Ist es jetzt klarer geworden? Schwer ist es nicht, eigentlich nur einsetzen der Definitionen...
Also, sollte noch etwas unklar sein, frag einfach nach.
Lars
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