Nachweis das f differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zu zeigen: [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit f(x)= [mm] x^2 [/mm] * [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] für [mm] x\not=0 [/mm] und f(x)=0 für x=0 ist in jedem Punkt [mm] x_{0} [/mm] des Definitionsbereichs differenzierbar |
Hallo Wissende!
Ich steck wieder mal blöde da, weil ich nicht weiß, wie ich das in den Differentialquotienten einsetzen soll. Ich kann doch nicht einfach folgendes schreiben oder???:
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{f(x) - f(0)}{x - x_{0}}
[/mm]
Vielen Dank schon mal! Es grüßt der Kommissar
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> Zu zeigen: [mm]f:\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit f(x)= [mm]x^2[/mm] * [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm]
> für [mm]x\not=0[/mm] und f(x)=0 für x=0 ist in jedem Punkt [mm]x_{0}[/mm] des
> Definitionsbereichs differenzierbar
Hallo,
zunächst solltest du Dir klar machen, daß und warum die Differenzierbarkeit lediglich im Punkt x=0 infrage steht.
> weil ich nicht weiß, wie ich
> das in den Differentialquotienten einsetzen soll. Ich kann
> doch nicht einfach folgendes schreiben oder???:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{f(x) - f(0)}{x - x_{0}}[/mm]
Haargenauso würde ich das machen. Nachschauen, ob der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x) - f(0)}{x - 0} [/mm] existiert,
also
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2sin(\bruch{1}{x})}{x}=xsin(\bruch{1}{x})
[/mm]
Nun kannst Du ja [mm] xsin(\bruch{1}{x}) [/mm] einschachteln:
-|x| [mm] \le xsin(\bruch{1}{x}) \le [/mm] |x|,
und dann den Grenzwert.
Gruß v. Angela
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Danke für die schnelle Hilfe.
Es ist also für die anderen Punkte des Definitionsbereichs voraussetzbar und nur für x=0 kritisch. Deshalb kann ich so vorgehen? Hab ich es richtig verstanden?
Gruß und besten Dank , KommissarLachs
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> Danke für die schnelle Hilfe.
> Es ist also für die anderen Punkte des Definitionsbereichs
> voraussetzbar
Ja, Du mußt es allerdings begründen mit einem Satz aus der Vorlesung.
und nur für x=0 kritisch. Deshalb kann ich so
> vorgehen? Hab ich es richtig verstanden?
Ja.
Gruß v. Angela
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