Nachweis streng monoton fallen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich soll nachweisen, dass folgende Funktion p(x) = (0,04x + 2,6) * e^(6,8 - 0,02x) streng monoton fallend ist im Bereich von x=0 bis x=90.
Mein erster Gedanke war, die Ableitung (Steigung) p'(x) = (-0,0008x - 0,012) * e^(6,8 - 0,02x) < 0 zu sezten. Dann habe ich mir den Satz vom Nullprodukt zunutze gemacht:
-0,0008x-0,012 < 0 v e^(6,8 - 0,02x) < 0
-x - 15 < 0 v x [mm] \not\in [/mm] IR
gilt für x [mm] \not\in [/mm] IR [mm] [-15;\infty] [/mm] v gilt für x [mm] \not\in [/mm] IR
Das bedeutet also, dass p(x) im Bereich von x=0 bis x=90 streng monoton fallend ist.
Soo, nun zu meiner eigentlichen Frage:
Ich hatte noch eine weitere Idee und bräuchte jetzt mal eine Korrektur oder eine Bestätigung, ob die Variante auch möglich wäre.
Die 2. Variante wäre nämlich gewesen, Extrempunkte auszurechnen. Bei dieser Funktion gibt es genau 1 Hochpunkt bei x=-*** (also unrelevant wegen -). Das bedeutet doch, dass in dem angegebenen Bereich von x=0 bis x=90 keine Änderung der Steigung von + zu - vorhanden ist. Man kann doch eigentlich davon ausgehen, dass ab dem Hochpunkt die Steigung immer weiter zurückgeht, da ja kein weiterer Hochpunkt/Tiefpunkt vorhanden ist, und somit die Steigung nicht mehr positiv werden kann.
Könnte man das so auch nachweisen? Ich hätte dann noch die Steigung bei x=0 und x=90 berechnet und das dann so als Erklärung gegeben.
Ich bitte um euren Rat/eure Hilfe.
piepmatz92
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Hallo,
leider ist deine Ableitung noch falsch. Und zwar hast du bei der Konstante in der Klammer einen Fehler.
Deine Idee, die Ableitung kleiner Null zu setzen, ist doch genau die richtige. Nur der Satz vom Nullprodukt gehört hier nicht her, denn er gilt für Gleichungen, aber nicht für Ungleichungen!
Nutze vielmehr aus, dass die Exponentialfunktion überall positiv ist: das bringt dich sofort zu einer linearen Ungleichung, die man mühelos auflöst.
Gruß, Diophant
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Komisch! Ich habe noch mal nachgerechnet und komme auf genau die Ableitung, die ich auch geschrieben hatte...
Was meinst du hiermit: "das bringt dich sofort zu einer linearen Ungleichung, die man mühelos auflöst"?
Ich hatte jetzt gedacht, dass ich jeden einzelnen Faktor untersuche, und überprüfe, ob die Steigung für den Bereich x=0 bis x=90 positiv oder negativ ist. Und dann in einem weiteren Schritt hätte ich die beiden Teile dann zusammengefügt und gesehen, dass sich aus - (erster Teil) und + (e-Funktion) eine negative Steigung, also eine streng fallende Funktion ergibt.
Wäre meine Variante, die ich oben erläutert habe, auch richtig gewesen?
piepmatz92
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Hallo,
ja, ich hatte mich vertan: die Ableitung ist richtig. Und jetzt mache dir klar, weshalb
(-0.0008*x-0.012)*e^(6.8-0.02*x)<0 <=>
-0.0008*x-0.012<0
gilt. Und letzteres ist eine lineare Ungleichung.
Deine 2. Variante ist nicht ganz falsch, aber mathematisch unsauber. Denn ein Hochpunkt alleine sagt dir gar nichts aus. Für diese Art der Argumentation müsstest du streng genommen noch die Stetigkeit von f ins Feld führen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Mo 09.05.2011 | | Autor: | piepmatz92 |
Okay! Super! DANKE DANKE DANKE! 
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