Nachweis von Achsensymmetrie < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 So 22.03.2009 | | Autor: | Siemens |
| Aufgabe | Für jede reele Zahl a ist eine Funktion [mm] h_{a} [/mm] gegeben durch
[mm] h_{a} [/mm] (t) = [mm] \bruch{1}{e^{0.5t}+e^{a-0.5t}} [/mm] ; t [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
Zeigen Sie, dass jede Funktion [mm] h_{a} [/mm] ein achsensymmetrisches Schaubild hat. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
irgendwie stocke ich gerade bei dieser Aufgabe. Normalerweise setzt man ja für die Variabel, in diesem Fall t, einfach -t ein und vereinfacht dann und entweder es gilt dann [mm] h_{a} [/mm] (-t) = [mm] h_{a} [/mm] (t) oder [mm] h_{a} [/mm] (-t) = [mm] -h_{a} [/mm] (t) oder eben keins von beidem.
Nur hier funktioniert das irgendwie nicht so richtig:
[mm] h_{a} [/mm] (-t) = [mm] \bruch{1}{e^{-0.5t}+e^{a+0.5t}}
[/mm]
Soweit so gut, nur ist das ja damit noch nicht gezeigt.
Nur nochmal zum Verständnis, wenn ich etwas zeigen soll, dann ist doch anzunehmen, dass dem auch auf jeden Fall so ist!? Ich habe hier nämlich irgendwie im Moment meine Zweifel.
Danke für eure Hilfe!
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Hallo Siemens,
> Für jede reele Zahl a ist eine Funktion [mm]h_{a}[/mm] gegeben
> durch
>
> [mm]h_{a}[/mm] (t) = [mm]\bruch{1}{e^{0.5t}+e^{a-0.5t}}[/mm] ; t [mm]\varepsilon \IR[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass jede Funktion [mm]h_{a}[/mm] ein
> achsensymmetrisches Schaubild hat.
Das wird schwierig, denn das Biest ist nicht achsensymmetrisch (zumindest nicht zur y-Achse)
Die Funktion hat einen Hochpunkt an der Stelle $x=a$ und scheint wohl bzgl. der Achse $x=a$ symmetrisch zu sein, habe ich aber nicht nachgerechnet
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> irgendwie stocke ich gerade bei dieser Aufgabe.
> Normalerweise setzt man ja für die Variabel, in diesem Fall
> t, einfach -t ein und vereinfacht dann und entweder es gilt
> dann [mm]h_{a}[/mm] (-t) = [mm]h_{a}[/mm] (t) oder [mm]h_{a}[/mm] (-t) = [mm]-h_{a}[/mm] (t)
> oder eben keins von beidem.
> Nur hier funktioniert das irgendwie nicht so richtig:
>
> [mm]h_{a}[/mm] (-t) = [mm]\bruch{1}{e^{-0.5t}+e^{a+0.5t}}[/mm]
>
> Soweit so gut, nur ist das ja damit noch nicht gezeigt.
>
> Nur nochmal zum Verständnis, wenn ich etwas zeigen soll,
> dann ist doch anzunehmen, dass dem auch auf jeden Fall so
> ist!? Ich habe hier nämlich irgendwie im Moment meine
> Zweifel.
Ich auch! Ist das oben der genaue Worlaut der Aufgabenstellung? Ist die Funktion richtig eingetippt?
>
> Danke für eure Hilfe!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Siemens |
Hallo schachuzipus,
Ich habe die Aufgabe gerade nochmals kontrolliert, das ist alles richtig übernommen.
Es verwundert mich nur, dass es einfach nicht so ist ... das ist ein Ausschnitt einer original Prüfungsaufgabe des Nachtermins vom Abitur. Leider habe ich dazu keine Lösung.
Danke auf jeden Fall mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wie schon vermutet wurde: Die Funktion ist symmetrisch zur Gerade x=a. Wenn man Symmetrie voraussetzt, ginge das ja auch nicht anders, nach der Sache mit dem Hochpunkt. Wie dem auch sei, es ist echt so. ;)
Zur Überprüfung einfach f(a+x) und f(a-x) vergleichen, die ja gleich sein müssen. Das ist die allgemeinere Form von f(x)=f(-x), wo nämlich a=0 (y-Achse) ist.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Siemens |
Hi Teufel,
daraus ergeben sich also diese beiden Gleichungen:
$ [mm] h_{a} [/mm] $ (a-t) = $ [mm] \bruch{1}{e^{-0.5a+0,5t}+e^{1,5a-0.5t}} [/mm] $
$ [mm] h_{a} [/mm] $ (a+t) = $ [mm] \bruch{1}{e^{-0.5a-0,5t}+e^{1,5a+0.5t}} [/mm] $
Jetzt stellt sich mir nur noch die Frage, wie ich eine zur anderen umforme oder halt zeige, dass beide identisch sind ...?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Mo 23.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hi Teufel,
>
> daraus ergeben sich also diese beiden Gleichungen:
>
> [mm]h_{a}[/mm] (a-t) = [mm]\bruch{1}{e^{-0.5a+0,5t}+e^{1,5a-0.5t}}[/mm]
>
> [mm]h_{a}[/mm] (a+t) = [mm]\bruch{1}{e^{-0.5a-0,5t}+e^{1,5a+0.5t}}[/mm]
So ist es.
>
> Jetzt stellt sich mir nur noch die Frage, wie ich eine zur
> anderen umforme oder halt zeige, dass beide identisch sind
> ...?
Wende mal ein wenig die Potenzgesetze an.
Versuche mal ein wenig rumzuexperimentieren, und zeige uns mal Ansätze.
>
> Danke!
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Siemens |
Hi Marius,
okay, also zunächst kann man natürlich alles mit negativem Vorzeichen in den Nenner setzen:
[mm] h_{a} [/mm] (a-t) = [mm] \bruch{1}{e^{-0.5a+0,5t}+e^{1,5a-0.5t}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{e^{0.5t}}{{e^{0.5a}}} + \bruch{e^{1,5a} }{e^{0,5t}}}
[/mm]
[mm] h_{a} [/mm] (a+t) = [mm] \bruch{1}{e^{-0.5a-0,5t}+e^{1,5a+0.5t}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{{e^{0.5a+0.5t}}} + e^{1,5a+0.5t}}
[/mm]
Ausklammern von [mm] e^{x} [/mm] z.B. bringt mich irgendwie nicht weiter.
Hat Jemand einen Denkanstoß?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Marius,
>
> okay, also zunächst kann man natürlich alles mit negativem
> Vorzeichen in den Nenner setzen:
>
> [mm]h_{a}[/mm] (a-t) = [mm]\bruch{1}{e^{-0.5a+0,5t}+e^{1,5a-0.5t}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{e^{0.5t}}{{e^{0.5a}}} + \bruch{e^{1,5a} }{e^{0,5t}}}[/mm]
>
> [mm]h_{a}[/mm] (a+t) = [mm]\bruch{1}{e^{-0.5a-0,5t}+e^{1,5a+0.5t}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{{e^{0.5a+0.5t}}} + e^{1,5a+0.5t}}[/mm]
>
> Ausklammern von [mm]e^{x}[/mm] z.B. bringt mich irgendwie nicht
> weiter.
>
> Hat Jemand einen Denkanstoß?
mein Denkanstoss besteht darin, dass Du nochmal die Formeln für [mm] $h_a(a \pm [/mm] t)$ kontrollierst. Die 'richtigen Versionen' findest Du in meiner Antwort hier, da taucht nirgendswo etwas der Art [mm] $\pm [/mm] 1.5*irgendwas$ bei den Exponenten von [mm] $e\,$ [/mm] auf, sondern bei den Exponenten von [mm] $e\,$ [/mm] steht stets nur sowas wie [mm] $\pm [/mm] 0.5*irgendwas$.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, die ganze Sache ist eigentlich viel einfacher. Du hast nur irgendwie falsch eingesetzt.
[mm] h_a(a+t)=\bruch{1}{e^{0,5(a+t)}+e^{a-0,5(a+t)}}=\bruch{1}{e^{0,5a+0,5t}+e^{0,5a-0,5t}}
[/mm]
[mm] h_a(a-t)=\bruch{1}{e^{0,5(a-t)}+e^{a-0,5(a-t)}}=\bruch{1}{e^{0,5a-0,5t}+e^{0,5a+0,5t}}
[/mm]
Wenn du dann im Nenner einfach die Summanden vertauschst, hast du genau den selben Ausdruck.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Siemens,
1.) Ich denke, der Wortlaut der Aufgabe ist schon richtig so. Solange man nur von 'achsensymmetrisch' spricht, heißt das noch lange nicht, dass man Symmetrie zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] meint, sondern es kann auch eine zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] parallele Gerade gemeint sein (meist würde man dann aber die Achse nenne, bzgl. der auf Achsensymmetrie untersucht werden soll, aber zwingend ist das nicht). Ebenso gibt es den Begriff 'punktsymmetrisch' in allgemeinerer Form, man sagt dann auch meist 'symmtrisch zum Punkt ...' (vgl. ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia, Achsensymmetrie/Punktsymmetrie zum Funktionsgraphen.)
2.) Nun noch kurz hierzu:
> [mm]h_{a}[/mm] (a-t) = [mm]\bruch{1}{e^{-0.5a+0,5t}+e^{1,5a-0.5t}}[/mm]
>
> [mm]h_{a}[/mm] (a+t) = [mm]\bruch{1}{e^{-0.5a-0,5t}+e^{1,5a+0.5t}}[/mm]
Deine obigen Formeln sind leider nicht korrekt:
Es gilt
[mm] $$h_a(a-t)=\frac{1}{e^{0.5a-0.5t}+e^{a-0.5a+0.5t}}=\frac{1}{e^{\blue{0.5a-0.5t}}+e^{\blue{0.5a+0.5t}}}$$
[/mm]
und
[mm] $$h_a(a+t)=\frac{1}{e^{0.5a+0.5t}+e^{a-0.5a-0.5t}}=\frac{1}{e^{\blue{0.5a+0.5t}}+e^{\blue{0.5a-0.5t}}}$$ [/mm]
> Jetzt stellt sich mir nur noch die Frage, wie ich eine zur
> anderen umforme oder halt zeige, dass beide identisch sind
> ...?
Wären die beiden Gleichungen von Dir richtig aufgestellt, so wäre [mm] $h_a(a-t)=h_a(a+t)$ [/mm] für alle [mm] $t\,$ [/mm] offensichtlich. Ist das mal nicht der Fall, so hättest Du auch versuchen können, bspw. mit [mm] $h_a(a-t)=\frac{1}{e^{\blue{0.5a-0.5t}}+e^{\blue{0.5a+0.5t}}}$ [/mm] zu starten und dann solange umzuformen, bis Du bei [mm] $\frac{1}{e^{\blue{0.5a+0.5t}}+e^{\blue{0.5a-0.5t}}}=h_a(a+t)$ [/mm] angelangt wärst. Diese Strategie ist i.a. auch nicht schlecht und sollte auch probiert werden, hat aber den Nachteil, dass man quasi immer nachgucken muss:
Wo stehe ich gerade und wo will ich hin?
Wenn es mal nicht so offensichtlich ist wie oben, so könnte man sich überlegen:
[mm] $$h_a(a+t)=h_a(a-t)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \frac{1}{e^{\blue{0.5a-0.5t}}+e^{\blue{0.5a+0.5t}}}=\frac{1}{e^{\blue{0.5a+0.5t}}+e^{\blue{0.5a-0.5t}}}\,.$$
[/mm]
Ich stelle mich nun mal 'blind' und tue so, als sei es nicht offensichtlich, dass die letzte Gleichung für alle [mm] $t\,$ [/mm] stimmt. Dann wäre die letzte Gleichung durch Äquivalenzumformungen in eine Gleichung umzuformen, die 'offensichtlich' (für alle [mm] $t\,$) [/mm] stets richtig ist.
Und das geht leicht, denn es gilt für alle [mm] $t\,$:
[/mm]
[mm] $$\frac{1}{e^{0.5a-0.5t}+e^{0.5a+0.5t}}=\frac{1}{e^{0.5a+0.5t}+e^{0.5a-0.5t}}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw e^{0.5a+0.5t}+\green{e^{0.5a-0.5t}}=\green{e^{0.5a-0.5t}}+e^{0.5a+0.5t}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw e^{0.5a+0.5t}=e^{0.5a+0.5t}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 0=0\,.$$
[/mm]
Und $0=0$ ist offensichtlich für alle [mm] $t\,$ [/mm] richtig.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Siemens |
Hallo zusammen,
vielen Dank für eure ausführlichen Erläuterungen. Ich habe nun meinen Fehler gefunden, ich habe (a-t) und (a+t) nicht in [mm] f_{a} [/mm] (t) sondern ausversehen in diese umgeformte eingesetzt:
[mm] h_{a} [/mm] (-t) = [mm] \bruch{1}{e^{-0.5t}+e^{a+0.5t}} [/mm]
Jetzt stimmt alles und ich weiß nun auch, wie man Symmetrie zu Achsen die der y-Achse parallel sind zeigt. :) Bisher hatten wir in der Schule eigentlich Funktionen immer nur auf "einfache Symmetrie" hin untersucht.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> vielen Dank für eure ausführlichen Erläuterungen. Ich habe
> nun meinen Fehler gefunden, ich habe (a-t) und (a+t) nicht
> in [mm]f_{a}[/mm] (t) sondern ausversehen in diese umgeformte
> eingesetzt:
>
> [mm]h_{a}[/mm] (-t) = [mm]\bruch{1}{e^{-0.5t}+e^{a+0.5t}}[/mm]
achso. Das wäre dann eigentlich die Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] mit $t [mm] \mapsto g_a(t):=h_a(-t)\,,$ [/mm] und die wäre dann nicht mehr symmetrisch bzgl. der Achse [mm] $x\,=a\,,$ [/mm] sondern sollte dann symmetrisch bzgl. der Achse [mm] $x=\,-a$ [/mm] sein [mm] ($g_a$ [/mm] entsteht dann ja durch Spiegelung von [mm] $h_a$ [/mm] an der [mm] $y\,-$Achse, [/mm] und [mm] $h_a$ [/mm] ist symmetrisch bzgl. der Achse [mm] $x\,=a$).
[/mm]
> Jetzt stimmt alles und ich weiß nun auch, wie man Symmetrie
> zu Achsen die der y-Achse parallel sind zeigt. :) Bisher
> hatten wir in der Schule eigentlich Funktionen immer nur
> auf "einfache Symmetrie" hin untersucht.
>
> Vielen Dank!
Ich denke, ich spreche im Namen aller, wenn ich sage: Gern geschehen und schön, dass Du etwas 'neues' dazugelernt hast. 
Gruß,
Marcel
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