Nachweis von Extremstellen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mi 11.07.2012 | | Autor: | lim |
| Aufgabe | Gegeben ist die Schar von Funktionen [mm] f_{a}(x)=(x+a): x^2
[/mm]
Weisen Sie nach, dass der Graph Gfa genau einen realtiven Extrempunkt besitzt.
Bestimmen Sie Art und Koordinaten der Extrema! |
Mein geplantes Vorgehen:
Ableitung bilden: [mm] f_{a}(x)=(-x-2a):x^3
[/mm]
Ableitung = 0
Bruch = 0, wenn Zähler =0
Und hier ist das erste Problem!
Woher weiß ich, wann -x-2a=0
Ist das Vorgehen falsch oder wie komme ich bitte zum gewünschten Ergebnis, also der Lösung?
Es wäre klasse, wenn ihr mir das weitere Vorgehen erklären könntet!
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist die Schar von Funktionen [mm]f_{a}(x)=(x+a): x^2[/mm]
>
> Weisen Sie nach, dass der Graph Gfa genau einen realtiven
> Extrempunkt besitzt.
> Bestimmen Sie Art und Koordinaten der Extrema!
>
> Mein geplantes Vorgehen:
>
> Ableitung bilden: [mm]f_{a}(x)=(-x-2a):x^3[/mm]
> Ableitung = 0
> Bruch = 0, wenn Zähler =0
>
> Und hier ist das erste Problem!
> Woher weiß ich, wann -x-2a=0
Hallo,
das a ist ein Parameter. Es ist zu behandeln, als stünde dort eine ganz normale Zahl, etwa die 7.
Mit -x-2*7=0 wüßtest Du doch sicher etwas anzufangen, oder?
Und genauso mach es auch, wenn statt der 7 ein a dasteht.
> Ist das Vorgehen falsch
Es ist goldrichtig.
Wenn Du Deinen Extremwertkanditaten hast, machst Du weiter wie gewohnt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 11.07.2012 | | Autor: | lim |
Danke das hilft mir schon einmal weiter!
Wenn ich deinen Rat befolge erhalte ich x=-2a , als Extremstelle.
Wenn das x kleiner wird, z.B. x=-3a, so wird durch das negative Vorzeichen vor dem x der Zähler größer.
Für x>-2a wird der Zähler kleiner.
Es liegt somit ein Hochpunkt (HOP) vor. Stimmt das?
Falls ja wäre somit die Art der Extremstelle bestimmt, somit fehlt nur noch die Angabe der Koordinaten der Extremstelle.
x=-2a wäre somit die x-Koordinate.
Um die y-Koordinate zu erhalten setzte ich den x-Wert in die Stammfunktion ein und erhalte somit.
y= [mm] (-a):(-2a)^2
[/mm]
HOP [mm] (-2a/(-a):(-2a)^2)
[/mm]
Ich wäre dir dankbar, wenn du dies überprüfen könntest! 
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Hallo lim,
> Danke das hilft mir schon einmal weiter!
>
> Wenn ich deinen Rat befolge erhalte ich x=-2a , als
> Extremstelle.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn das x kleiner wird, z.B. x=-3a, so wird durch das
> negative Vorzeichen vor dem x der Zähler größer.
> Für x>-2a wird der Zähler kleiner.
>
> Es liegt somit ein Hochpunkt (HOP) vor. Stimmt das?
>
Nicht in jedem Fall handelt es sich um ein Extrema.
Die Art des Extremas ist vom Parameter a abhängig.
> Falls ja wäre somit die Art der Extremstelle bestimmt,
> somit fehlt nur noch die Angabe der Koordinaten der
> Extremstelle.
> x=-2a wäre somit die x-Koordinate.
> Um die y-Koordinate zu erhalten setzte ich den x-Wert in
> die Stammfunktion ein und erhalte somit.
>
> y= [mm](-a):(-2a)^2[/mm]
>
> HOP [mm](-2a/(-a):(-2a)^2)[/mm]
>
> Ich wäre dir dankbar, wenn du dies überprüfen könntest!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mi 11.07.2012 | | Autor: | lim |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass je zwei verschiedene Scharkurven keinen gemeinsamen Punkt haben, sich aber für [mm] |x|\mapsto\infty [/mm] einander beliebig nähern. |
Danke MathePower für deine Antwort!
Eine Weitere Teilaufgabe habe ich hinzugefügt.
Hier weiß ich überhaupt nicht, was von mir verlangt wird.
Wäre toll, wenn ihr mir kurz sagen könnten, was von mir verlangt wird und wie ich vorgehen muss.
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Hallo lim,
> Beweisen Sie, dass je zwei verschiedene Scharkurven keinen
> gemeinsamen Punkt haben, sich aber für [mm]|x|\mapsto\infty[/mm]
> einander beliebig nähern.
> Danke MathePower für deine Antwort!
>
> Eine Weitere Teilaufgabe habe ich hinzugefügt.
> Hier weiß ich überhaupt nicht, was von mir verlangt
> wird.
> Wäre toll, wenn ihr mir kurz sagen könnten, was von mir
> verlangt wird und wie ich vorgehen muss.
>
Wähle [mm]a_{1}, \ a_{2}[/mm] mit [mm]a_{1} \not=a_{2}[/mm],
dann sind die Kurven wie folgt definiert:
[mm]f_{a_{1}}\left(x\right)=\bruch{x+a_{1}}{x^{2}}[/mm]
[mm]f_{a_{2}}\left(x\right)=\bruch{x+a_{2}}{x^{2}}[/mm]
Setze dann [mm]f_{a_{1}}\left(x\right)=f_{a_{2}}\left(x\right)[/mm]
und zeige, daß diese Gleichung keine Lösung hat.
Zu der beliebigen Annäherung betrachte die Differenz
[mm]\vmat{f_{a_{2}}\left(x\right)-f_{a_{1}}\left(x\right)}[/mm]
Zeige daß diese Differenz beliebig klein werden kann.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mi 11.07.2012 | | Autor: | lim |
Vielen Dank für die Antwort!
Ich versuch es gleich mal:
> Wähle [mm]a_{1}, \ a_{2}[/mm] mit [mm]a_{1} \not=a_{2}[/mm],
> dann sind die
> Kurven wie folgt definiert:
>
> [mm]f_{a_{1}}\left(x\right)=\bruch{x+a_{1}}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]f_{a_{2}}\left(x\right)=\bruch{x+a_{2}}{x^{2}}[/mm]
Ok, ich wähle [mm] a_{1}=1 [/mm] und [mm] a_{2}=-1
[/mm]
> Setze dann [mm]f_{a_{1}}\left(x\right)=f_{a_{2}}\left(x\right)[/mm]
> und zeige, daß diese Gleichung keine Lösung hat.
[mm] \bruch{x+{1}}{x^{2}}=\bruch{x-{1}}{x^{2}}
[/mm]
x+1=x-1
1=-1
keine Lösung
> Zu der beliebigen Annäherung betrachte die Differenz
>
> [mm]\vmat{f_{a_{2}}\left(x\right)-f_{a_{1}}\left(x\right)}[/mm]
>
> Zeige daß diese Differenz beliebig klein werden kann.
>
>
> Gruss
> MathePower
[mm] |f_{a_{2}}\left(x\right)=\bruch{x-1}{x^{2}}-f_{a_{1}}\left(x\right)=\bruch{x+1}{x^{2}}|
[/mm]
Wie kann ich zeigen, dass die Differenz beliebig klein werden kann, indem ich kleinere Zahlen verwende?
Ich habe die erhaltenen Funktionen bei MatheGrafix zeichnen lassen. Der Darstellung kann man entnehmen, dass sich die beiden Graphen beliebig nahme kommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mi 11.07.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo lim!
> Ok, ich wähle [mm]a_{1}=1[/mm] und [mm]a_{2}=-1[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Damit zeigst Du es ja nur für diese beiden speziellen Werte.
Du musst schon allgemein mit [mm]f_a(x) \ = \ f_b(x)[/mm] zeigen:
[mm]f_a(x) \ = \ f_b(x)[/mm]
[mm]\bruch{x+a}{x^2} \ = \ \bruch{x+b}{x^2}[/mm]
usw.
> > Zu der beliebigen Annäherung betrachte die Differenz
> >
> > [mm]\vmat{f_{a_{2}}\left(x\right)-f_{a_{1}}\left(x\right)}[/mm]
> >
> > Zeige daß diese Differenz beliebig klein werden kann.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> [mm]|f_{a_{2}}\left(x\right)=\bruch{x-1}{x^{2}}-f_{a_{1}}\left(x\right)=\bruch{x+1}{x^{2}}|[/mm]
>
> Wie kann ich zeigen, dass die Differenz beliebig klein
> werden kann, indem ich kleinere Zahlen verwende?
Fasse die beiden Terme mal zusammen:
[mm]f_a(x)-f_b(x) \ = \ \bruch{x+a}{x^2}-\bruch{x+b}{x^2} \ = \ ...[/mm]
Anschließend dann die Grenzwertbetrachtung(en) [mm]x\rightarrow\pm\infty[/mm] durchführen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mi 11.07.2012 | | Autor: | lim |
> Damit zeigst Du es ja nur für diese beiden
> speziellen Werte.
>
> Du musst schon allgemein mit [mm]f_a(x) \ = \ f_b(x)[/mm] zeigen:
>
> [mm]f_a(x) \ = \ f_b(x)[/mm]
>
> [mm]\bruch{x+a}{x^2} \ = \ \bruch{x+b}{x^2}[/mm]
>
> usw.
[mm]\bruch{x+a}{x^2} \ = \ \bruch{x+b}{x^2}[/mm]
x+a=x+b
a=b
> > > Zu der beliebigen Annäherung betrachte die Differenz
> > >
> > > [mm]\vmat{f_{a_{2}}\left(x\right)-f_{a_{1}}\left(x\right)}[/mm]
> > >
> > > Zeige daß diese Differenz beliebig klein werden kann.
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> >
> [mm]|f_{a_{2}}\left(x\right)=\bruch{x-1}{x^{2}}-f_{a_{1}}\left(x\right)=\bruch{x+1}{x^{2}}|[/mm]
> >
> > Wie kann ich zeigen, dass die Differenz beliebig klein
> > werden kann, indem ich kleinere Zahlen verwende?
>
> Fasse die beiden Terme mal zusammen:
>
> [mm]f_a(x)-f_b(x) \ = \ \bruch{x+a}{x^2}-\bruch{x+b}{x^2} \ = \ ...[/mm]
>
> Anschließend dann die Grenzwertbetrachtung(en)
> [mm]x\rightarrow\pm\infty[/mm] durchführen.
>
>
> Gruß
> Loddar
[mm] \bruch{x+a}{x^2}-\bruch{x+b}{x^2} \
[/mm]
[mm] \bruch{x+b-x-a}{x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{b-a}{x^2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{b-a}{x^2}=0, [/mm] da der Nenner sehr schnell ansteigt, durch die Potenz 2.
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Hi!
> > Damit zeigst Du es ja nur für diese beiden
> > speziellen Werte.
> >
> > Du musst schon allgemein mit [mm]f_a(x) \ = \ f_b(x)[/mm] zeigen:
> >
> > [mm]f_a(x) \ = \ f_b(x)[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{x+a}{x^2} \ = \ \bruch{x+b}{x^2}[/mm]
> >
> > usw.
>
> [mm]\bruch{x+a}{x^2} \ = \ \bruch{x+b}{x^2}[/mm]
>
> x+a=x+b
>
> a=b
Ja, und mit der voraussetzung [mm]a\not=b[/mm] hast du also was gezeigt?
>
> > > > Zu der beliebigen Annäherung betrachte die Differenz
> > > >
> > > > [mm]\vmat{f_{a_{2}}\left(x\right)-f_{a_{1}}\left(x\right)}[/mm]
> > > >
> > > > Zeige daß diese Differenz beliebig klein werden kann.
> [mm]|f_{a_{2}}\left(x\right)=\bruch{x-1}{x^{2}}-f_{a_{1}}\left(x\right)=\bruch{x+1}{x^{2}}|[/mm]
> > >
> > > Wie kann ich zeigen, dass die Differenz beliebig klein
> > > werden kann, indem ich kleinere Zahlen verwende?
> >
> > Fasse die beiden Terme mal zusammen:
> >
> > [mm]f_a(x)-f_b(x) \ = \ \bruch{x+a}{x^2}-\bruch{x+b}{x^2} \ = \ ...[/mm]
> >
> > Anschließend dann die Grenzwertbetrachtung(en)
> > [mm]x\rightarrow\pm\infty[/mm] durchführen.
> >
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{b-a}{x^2}=0,[/mm] da der
Du solltest hier schon noch den Betrag verwenden.
[mm]\limes_{|x|\rightarrow\infty} \bigg|f_a(x)-f_b(x) \bigg| =\limes_{|x|\rightarrow\infty} \bigg| \bruch{x+a}{x^2}-\bruch{x+b}{x^2} \bigg|\limes_{|x|\rightarrow\infty} = \bigg| ...\bigg|[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Do 12.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hi!
> >
> > > > Damit zeigst Du es ja nur für diese beiden
> > > > speziellen Werte.
> > > >
> > > > Du musst schon allgemein mit [mm]f_a(x) \ = \ f_b(x)[/mm] zeigen:
> > > >
> > > > [mm]f_a(x) \ = \ f_b(x)[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\bruch{x+a}{x^2} \ = \ \bruch{x+b}{x^2}[/mm]
> > > >
> > > > usw.
> > >
> > > [mm]\bruch{x+a}{x^2} \ = \ \bruch{x+b}{x^2}[/mm]
> > >
> > > x+a=x+b
> > >
> > > a=b
> >
> > Ja, und mit der voraussetzung [mm]a\not=b[/mm] hast du also was
> > gezeigt?
>
> Dass die beiden Scharkurven keine gemeinsamen Punkte
> besitzen. Stimmt doch so, oder?
ja. Du kennst die Verfahren, ist Dir die Logik bewußt? Mit Worten wird hier sicher einiges klarer, und ich mache es mal ausführlicher, und ein wenig anders:
Seien [mm] $a,b\,$ [/mm] so, dass die Graphen von [mm] $f_a$ [/mm] und [mm] $f_b$ [/mm] sich schneiden. Dann gibt es eine (gemeinsame) Stelle [mm] $x_0$ [/mm] (im Definitionsbereich sowohl von [mm] $f_a$ [/mm] als auch von [mm] $f_b$ [/mm] - insbesondere kann damit nur [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] sein) mit der Eigenschaft
[mm] $$f_a(x_0)=f_b(x_0)\,.$$
[/mm]
Dann folgt aus
[mm] $$f_a(x_0)=f_b(x_0)$$
[/mm]
sodann
[mm] $$(x_0+a)/x_0^2=(x_0+b)/x_0^2$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow x_0+a=x_0+b \text{ (wegen Multiplikation mit }x_0^2\text{ beiderseits)}$$
[/mm]
[mm] $$a=b\,. \text{ (wegen Subtraktion von }x_0\text{ beiderseits!)}$$
[/mm]
Aus [mm] $a=b\,$ [/mm] folgt dann aber [mm] $f_a(x)=f_b(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\,,$ [/mm] also [mm] $f_a=f_b\,.$ [/mm] Also: Hier erkennen wir, dass, wenn sich die Funktionen schneiden, dann [mm] $a=b\,$ [/mm] gelten muss, sie also identisch sein müssen. Verschiedene Scharkurven schneiden sich also nicht.
(Die Logik hier: Aus der Existenz eines Schnittpunktes folgt die Gleichheit der Scharkurven. Das ist genau das gleiche, wie vorgeschlagen wurde - es ist der Beweis für die Kontraposition der behaupteten Aussage, die logisch äquivalent zur behaupteten Aussage ist. So, wie es vorgeschlagen wurde, wird genau das getan, aber man führt einen Pseudowiderspruchsbeweis: Man nimmt an, es wäre $a [mm] \not=b$ [/mm] und es gäbe doch einen gemeinsamen Schnittpunkt. Oben siehst Du, dass dann aber [mm] $a=b\,$ [/mm] folgt, was der Annahme $a [mm] \not=b$ [/mm] widerspricht.
Und genauso werden viele Beweise durch Kontrposition auch als Widerspruchsbeweise getarnt: Man will $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ beweisen. Dann nimmt man an, es würde doch $A$ und [mm] $\neg B\,$ [/mm] gelten. Dann beweist man, dass [mm] $(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A)$ gilt (und das ist der Beweis per Kontraposition) - und zieht den Schluss, dass nicht sowohl [mm] $A\,$ [/mm] als auch [mm] $\neg [/mm] A$ gleichzeitig wahr sein können. Das ist der "Widerspruch".)
Aber Fazit: Ja, Du hast das bewiesen, was Du gesagt hattest!
Gruß,
Marcel
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