Nadelproblem von Buffon < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Sa 26.05.2007 | | Autor: | xSusix |
| Aufgabe |
1. Erläutern Sie anhand des Nadelproblems von Buffon die geometrische Wahrscheinlichkeit und ihre Eigenschaften.
2. Erläutern Sie, wie man den Versuch auf dem GTR simulieren kann. Gehen Sie dabei auf den Gebrauch vom Zufallszahlen und Pseudozufallszahlen ein! |
Hey alle zusammen!!! =)
Die oben gestellten Aufgaben habe ich unter anderem von meinem Lehrer für eine Belegarbeit über "Das Nadelproblem von Buffon" erhalten.
Wie kann ich die geometrische Wahrscheinlichkeit mit ihren Eigenschaften an dem Experiment erklären?
Was allerdings wichtiger für mich ist, ist die Frage 2...Ich hab überhaupt kein Plan wie ich das Experiment auf dem GTR (Casio CFX-9850GC PLUS) simulieren soll!!?? Bin schon recht am verzweifeln. ICh weiß lediglich wo ich die Zufallszahlen auf dem GTR erstellen kann aber ich weiß die gesamte Umsetzung des Versuchs nicht.
Bitte helft mir...!!!!
Danke schon mal im Voraus =)
Liebe Grüße
eure Susi
Ich habe diese Frage in dem Wortlaut in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 26.05.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Susi,
das Nadelproblem von Buffon ist die klassische Aufgabe zur Einführung in das Rechnen mit zwei Zufallsvariablen. Nähert man bei einer Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit als Ausdruck eines Quotienten an (die günstigen Fälle dividiert durch alle auftretenden Fälle), so geht man bei zwei Zufallsvariablen in die Fläche über und berechnet den Quotienten von Flächeninhalten, weswegen man auch von der geometrischen Wahrscheinlichkeit spricht.
Eine gute Einführung inklusive der Möglichkeit zur Programmierung findest Du unter
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ws03_04/wr/skript/node15.html
woraus sich ergibt, dass mit diesem Verfahren gut die Zahl 2/Pi angenähert bestimmt werden kann und damit natürlich auch Pi.
Viel Erfolg,
Infinit
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:31 Mo 28.05.2007 | | Autor: | xSusix |
Hey ..,danke für deine Antwort.... =)
die seite hab ich auch gefunden....allerdings habe ich das nicht so wirklich nachvollziehen können...und was ist da jetzt hier als hilfe zum programmieren? wo soll ich das dann auf meinem GTR eingeben...welches Programm??
liebe grüße
susi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Susi,
da weder ich noch augenscheinlich andere diesen Rechner kennen, bist Du die einzige, die Dir da weiterhelfen kann.
Sorry,
Infinit
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Hallo Susi!
Du hast eine identische Frage kurz vor dieser schon einmal hier gestellt!
Das ist ein Verstoß gegen unsere Forgenregeln!
Bitte unterlasse derartige Doppelpostings in nächster Zeit!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:16 So 01.07.2007 | | Autor: | azrael |
| Aufgabe | Auf einer Ebene seien paralle Geraden im Abstand l>0 eingezeichnet. Es fällt nun eine Nadel der Länge d>l rein zufällig auf die Ebene.
a)
Konstruieren Sie ein angemessene mathematische Modell für diesen zufälligen Versuch
b)
Berechnen Sie im Rahmen Ihres Modells die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nadel eine der Geraden schneidet. |
Ich habe versucht mithilfe des Links das Problem zu modelieren und dann zu berechnen, allerdings komm ich auf kein Vernünftiges Ergebnis weshalb ich mir auch nicht sicher bin ob die bisherigen Überlegungen richtig sind....
Vieleicht könnt ihr mir ja helfen.
Meine bisherigen Überlegungen:
Die Nadel fällt also auf die oben genannte Ebene und wird durch die Lage des Mittelpunktes und den Winkel (zur Senkrechten zu den Parallelen) beschrieben. Da die Parallelen alle den selben Abstand haben, und eine Verschiebung der Nadel entlang der Parellen keine Unterschied macht genügt es eine Senkrechte zwischen zwei Parallelen zu bertrachten, auf die rein zufällig der Nadelmittelpunkt fällt.
Desweiteren ist es egal ob der obere oder untere Teil der Nadel die Parallele schneidet, deshalb genügt es Winkel zwischen 0 (Nadel liegt senkrecht zu der Parallelen) und [mm] \frac{\pi}{2}[/mm] (die Nadel liegt parallel zur Parallelen) zu betrachten.
Analog zu der Berechnung in dem Link will ich also die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisse in [mm]\Omega = [0,l] \times [0,\frac{\pi}{2}] [/mm] berechnen:
[mm]A_{1+2}=A_1 \cup A_2=\{(s,t)\in \Omega: 0
Da die beiden disjunkt sind gilt:
[mm] P(A)= P(\{(s,t)\in \Omega: 0
Für den s- bzw. t- Schnitt von [mm] A_1[/mm] gilt:
[mm] A_1_t = \{ s\in [0,l] : 0
[mm] A_1_s = \{ t\in [0,l] :0
[mm] [/mm]
Ich habe also folgende Zufallsgrößen, Veteilungen und Dichten:
[mm] S: \mathcal{B}(\IR) \ \longrightarrow \ [0,l] [/mm] (rein zufälliger Punkt auf der Senkrechten)
mit der Dichte [mm] f^S (s)= \frac{1}{l} [/mm] und der Verteilung [mm] F^S (s)=\frac{1}{l} \cdot \chi_{[0,l]} \ +\ \chi_{[l, +\infty]} [/mm]
[mm] [/mm]
[mm] T: [0,\frac{\pi}{2}] \ \longrightarrow \ [0,\frac{\pi}{2}][/mm] mit [mm] T=\frac {d}{2} \cos t [/mm] mit der Verteilung [mm] F^T (t) = P (T\leq t)[/mm]
und der Dichte [mm]f_T (t) = (\arccos (\frac{2 t}{d}))'= \frac{-2}{d} \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2 t}{d})^2 }} [/mm]
Dann müsste nach Fubini eigentlich gelten:
[mm] P(A_1)= \int \chi_{A_1} dP^{(S,T)} (s,t) = \int \int \chi_{A_1} (s,t) \quad P^S ds \ P^T dt = \int \int\limits_0^l \chi_{A_1_t} (s,t) \quad f^S ds \ P^T dt[/mm]
(wobei [mm] A_1_t [/mm] der t Schnitt von [mm] A_1 [/mm] ist, den ich in die Integralgrenzen hineinziehe...)
[mm] = \int \int\limits_0^{\frac {d}{2} \cos t} f^S (s)\ ds \ P^T dt [/mm]
[mm] = \int \int\limits_0^{\frac {d}{2} \cos t} \frac{1}{l}\ ds \ P^T dt [/mm]
[mm] = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac {d}{2l} \cos t \ P^T dt [/mm]
[mm] = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac {d}{2l} \cos t \ \left(\arccos \left(\frac{2 t}{d}\right) \right)' dt [/mm]
[mm] = \frac {d}{2l} \ \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t \ \left(\arccos \left(\frac{2 t}{d}\right) \right)' dt [/mm]
(partielle Integration:)
[mm] = \frac {d}{2l} \left [ \cos t \left(\arccos \left(\frac{2 t}{d}\right) \right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \ - \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \ \left(\arccos \left(\frac{2 t}{d}\right) \right) dt [/mm]
[mm] = 0 \ - \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \ \left(\arccos \left(\frac{2 t}{d}\right) \right) dt [/mm]
(Substitution: [mm] t:= \frac{a}{2} \cdot \cos u, \ t'= \frac{-a}{2} \sin t[/mm] )
[mm] [/mm]
[mm] = \int\limits_{\frac{a}{2}}^{0} \frac{a}{2} dt [/mm]
[mm] = - \frac{a}{2} \ \int\limits_{0}^{\frac{a}{2}} 1 dt = - \left(\frac{a}{2}\right)^2 [/mm]
Was eigentlich ganz gut aussieht Was i. A. gar keine Wahrscheinlichkeit ist..., und wenn ich jetzt zuerst nach t integriere kommt was ganz anderes raus, was aber Fubini widerspricht:
[mm] [/mm]
[mm] P(A_1)= \int \chi_{A_1} dP^{(S,T)} (s,t) = \int \int \chi_{A_1} (s,t) \quad \ P^T dt P^S ds =\int \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \chi_{A_1_s} (s,t) \quad f^T dt \ P^S ds [/mm]
nun zieh ich den s-Schnitt in die Integralgrenzen hinein, was aber nicht so sinvoll aussieht...
[mm] = \int \int\limits_{\left(\arccos \left(\frac{2 s}{d}\right) \right)}^{\frac{\pi}{2}} \quad f^T dt \ P^S ds
= \int \int\limits_{\left(\arccos \left(\frac{2 s}{d}\right) \right)}^{\frac{\pi}{2}} \quad \left(\arccos \left(\frac{2 t}{d}\right) \right)' dt \ P^S ds[/mm]
[mm]= \int \ \left[\arccos \left(\frac{2 t}{d}\right) \right]_{\left(\arccos \left(\frac{2 s}{d}\right) \right)}^{\frac{\pi}{2}} \ P^S ds[/mm]
Was aber keinen Sinn macht, da [mm] \arccos (\frac{\pi}{d}) [/mm] nicht für alle d definiert ist und [mm] \arccos \left(\arccos \left(\frac{2 s}{d}\right) \right) [/mm] auch seltsam aussieht... und auf gar keinen Fall das Gleiche wie Oben herauskommt...
Vieleicht ist es auch falsch die Dichten bei den Integralen mit einzubeziehen, allerdings hab ich es auch schon ohne versucht und da kam auch nichts sinvolles heraus...
Oder ist das mit den Schnitten nicht in ordnung?
Vieleicht kann mir jemand helfen... ich freu mich über jede Antwort.
Gruß Azrael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Mi 04.07.2007 | | Autor: | azrael |
Auch wenn der Fälligkeitszeitraum nicht ganz hinhaut, ich bin an einer Antwort nicht mehr interessiert. Zum einen hab ich jetzt endlich die Lösung [mm] \frac{2 d}{2l\pi} [/mm] und zum anderen muss ich es Morgen abgeben...:)
Falls irgendwann jemand das selbe Problem hat:
Es genügt [mm] A_1 [/mm] zu betracheten und dann [mm] \frac{2 d}{2l\pi} [/mm] mit 2 zu multiplizieren.
Die Dichte von T war falsch sie ist [mm] \frac{1}{\pi}
[/mm]
Die Formel für Fubini findet man so im Bauer Maß und Int'Theorie.
Die Musterlösung von der Aufgabe gibt es demnächst hier: http://wws.mathematik.hu-berlin.de/%7Epeithman/stoch1_ss07/stoch1_ss07.html
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 05.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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