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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | [mm] x^2+\epsilon*x-1=0
[/mm]
mit [mm] \epsilon<<1 [/mm] |
Ich würde so an das Bsp. herangehen.
1) Entwickle x als Potenzreihe von [mm] \epsilon
[/mm]
=> x= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k*\epsilon^k
[/mm]
Setze in die Gleichung: [mm] (\summe_{k=0}^{\infty}a_k*\epsilon^{k})^2+\epsilon*\summe_{k=0}^{\infty}a_k*\epsilon^k-1=0
[/mm]
Möchte dies nun vereinfachen und Koeffizientenvergleich durchführen, kann mir dabei jemand helfen?
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> [mm]x^2+\epsilon*x-1=0[/mm]
>
> mit [mm]\epsilon<<1[/mm]
----> worin soll denn nun die Aufgabe überhaupt
bestehen ?
Man kann die Gleichung ja ohne Problem exakt
lösen.
Und: die Aufgabe gehört wohl kaum in das Gebiet der
Differentialgleichungen.
> Ich würde so an das Bsp. herangehen.
>
> 1) Entwickle x als Potenzreihe von [mm]\epsilon[/mm]
>
> => x= [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_k*\epsilon^k[/mm]
>
> Setze in die Gleichung:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_k^2*\epsilon^{2k}+\epsilon*\summe_{k=0}^{\infty}a_k*\epsilon^k-1=0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Eine Summe quadriert man nicht, indem man ihre einzelnen
Summanden quadriert !
> Möchte dies nun vereinfachen und Koeffizientenvergleich
> durchführen, kann mir dabei jemand helfen?
Da du ja wohl für eine Näherung nur ganz wenige
Glieder brauchst (z.B. quadratische Funktion in [mm] \epsilon),
[/mm]
kannst du doch die dazu nötigen Summen einfach
mal hinschreiben und ihre ersten drei Summanden vergleichen.
Um zu einer einfachen Näherung zu kommen,
könntest du z.B. auch die Binomialreihe auf den
in der exakten Lösung entstehenden Wurzelterm
ansetzen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Lonpos |
Das mit dem Quadrieren war natürlich vollkommener Schwachsinn, habe Klammern vergessen zu setzen.
Ich würde jedoch zuerst gerne eine Rekursionsformel für die Koeeffizienten [mm] a_k [/mm] allgemein bestimmen, und dann nur die ersten 3 oder 4 explizit hinschreiben.
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> Das mit dem Quadrieren war natürlich vollkommener
> Schwachsinn, habe Klammern vergessen zu setzen.
>
> Ich würde jedoch zuerst gerne eine Rekursionsformel für
> die Koeeffizienten [mm]a_k[/mm] allgemein bestimmen, und dann nur
> die ersten 3 oder 4 explizit hinschreiben.
Für eine allererste Rechnung würde ich mal vorschlagen,
einfach von einem quadratischen Näherungspolynom
auszugehen, also
x = [mm] a_0+a_1*\epsilon+a_2*\epsilon^2
[/mm]
oder, damit es zum Hinschreiben etwas angenehmer
wird:
x = [mm] a+b*\epsilon+c*\epsilon^2
[/mm]
und dann machst du in der entstehenden Gleichung
[mm] x^2+\epsilon*x-1=0 [/mm] nach dem Einsetzen den
Koeffizientenvergleich, soweit es eben geht.
Daraus erhältst du die richtigen Werte für [mm] a_0, a_1, a_2 [/mm] .
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Lonpos |
Ich bin nun genauso vorgegangen und erhalte somit
[mm] a_0=1
[/mm]
[mm] a_1=\bruch{-1}{2}
[/mm]
[mm] a_2=\bruch{3}{8}
[/mm]
Leider ist hier keine Struktur für mich erkennbar um auf [mm] a_k [/mm] zu schließen.
P.S: Ich glaube, dass du [mm] O(\epsilon^3) [/mm] bie dir vergessen hast, dazu zu schreiben.
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> Ich bin nun genauso vorgegangen und erhalte somit
>
> [mm]a_0=1[/mm]
Das ist nur eine von zwei möglichen Lösungen !
[mm] a_0=-1 [/mm] geht ebenfalls.
> [mm]a_1=\bruch{-1}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]a_2=\bruch{3}{8}[/mm]
Das richtige Ergebnis wäre: [mm] a_2=\frac{1}{8*a_0} [/mm] ,
also [mm] a_2=\pm\frac{1}{8} [/mm] (je nach dem Wert von [mm] a_0)
[/mm]
> Leider ist hier keine Struktur für mich erkennbar um auf
> [mm]a_k[/mm] zu schließen.
Natürlich wird eine solche Struktur auch gar nicht sichtbar,
wenn du dich doch für alle [mm] a_k [/mm] interessiert.
Wenn ich richtig verstanden habe, war aber doch nur eine
praktische und einfache Näherungsformel mit ganz wenigen
Gliedern, brauchbar für [mm] \epsilon<<1 [/mm] , gefragt, oder ?
> P.S: Ich glaube, dass du [mm]O(\epsilon^3)[/mm] bie dir vergessen
> hast, dazu zu schreiben.
Ich habe nicht vergessen, es hinzuschreiben, sondern
es bewusst weggelassen. Wie ich das meinte, habe ich
mit meinen Worten angedeutet:
"und dann machst du in der entstehenden Gleichung
$ [mm] x^2+\epsilon\cdot{}x-1=0 [/mm] $ nach dem Einsetzen den
Koeffizientenvergleich, soweit es eben geht."
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Lonpos |
Es stimmt schon, dass für eine Näherungslösung für [mm] \epsilon [/mm] <<1 nur wenige Werte genügen, aber es würde mich trotzdem interessieren wie ich zu einer allgemeinen Rekursionsformel für die [mm] a_k [/mm] gelange.
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> Es stimmt schon, dass für eine Näherungslösung für
> [mm]\epsilon[/mm] <<1 nur wenige Werte genügen, aber es würde mich
> trotzdem interessieren wie ich zu einer allgemeinen
> Rekursionsformel für die [mm]a_k[/mm] gelange.
Zu diesem Zweck möchte ich dir nochmals die
Binomialreihe ans Herz legen.
Beispielsweise gilt für positive kleine a :
[mm] $\sqrt{1+a}\ [/mm] =\ [mm] (1+a)^{(1/2)}\ [/mm] =\ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\pmat{1/2\\k}*a^k$
[/mm]
LG
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Lonpos |
So erhalte ich doch die exakte Lösung, also umformen zu [mm] x=\bruch{1}{1+\epsilon}=\ \sum_{k=0}^{\infty}\pmat{-1/2\\k}\cdot{}\epsilon^k
[/mm]
Aber ich möchte durch Einsetzen von [mm] x=\summe_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}\epsilon^k [/mm] und durch Koeffiezientenvergleich eine rekursove Formel für die [mm] a_k [/mm] erhalten.
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Hallo Lonpos,
> So erhalte ich doch die exakte Lösung, also umformen zu
> [mm]x=\bruch{1}{1+\epsilon}=\ \sum_{k=0}^{\infty}\pmat{-1/2\\k}\cdot{}\epsilon^k[/mm]
>
> Aber ich möchte durch Einsetzen von
> [mm]x=\summe_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}\epsilon^k[/mm] und durch
> Koeffiezientenvergleich eine rekursove Formel für die [mm]a_k[/mm]
> erhalten.
Nun, dann mußt Du
[mm](\summe_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}\epsilon^{k})^2=\summe_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}\epsilon^{k}*\summe_{l=0}^{\infty}a_l\cdot{}\epsilon^{l}[/mm]
mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produktformel berechnen und in
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}\epsilon^{k})^2+\epsilon\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}\epsilon^k-1=0[/mm]
einsetzen.
Dann kannst Du einen Koeffizientenvergleich durchführen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 28.10.2012 | | Autor: | Lonpos |
Unter Verwendung der Produktformel erhalte ich
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{n=0}^{k}a_n*a_{k-n})\epsilon^k+\epsilon\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}\epsilon^k-1=0 [/mm]
Wie kann der Term vereinfacht werden, damit die Koeffizienten ablesbar sind?
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Hallo Lonpos,
> Unter Verwendung der Produktformel erhalte ich
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{n=0}^{k}a_n*a_{k-n})\epsilon^k+\epsilon\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}\epsilon^k-1=0[/mm]
>
> Wie kann der Term vereinfacht werden, damit die
> Koeffizienten ablesbar sind?
>
Dazu muss dieser Term nach Potenzen von [mm]\epsilon[/mm] sortiert werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 So 28.10.2012 | | Autor: | Lonpos |
Das führt auf folgende Gleichung
[mm] \summe_{n=0}^{k}a_n*a_{k-n}+a_{k-1}=0 [/mm] wobei [mm] a_{-1}=-1
[/mm]
Wenn ich nun k, jeweils 0,1,2,3,... setze kann ich die [mm] a_k [/mm] iterativ bestimmen, aber ich kann keine Rekursionsformel ablesen??
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Hallo Lonpos,
> Das führt auf folgende Gleichung
>
> [mm]\summe_{n=0}^{k}a_n*a_{k-n}+a_{k-1}=0[/mm] wobei [mm]a_{-1}=-1[/mm]
>
> Wenn ich nun k, jeweils 0,1,2,3,... setze kann ich die [mm]a_k[/mm]
> iterativ bestimmen, aber ich kann keine Rekursionsformel
> ablesen??
Dazu musst Du die Summe noch auseinanderdividieren,
so daß Du eine Formel für das [mm]a_{k}[/mm] herausbekommst.
Gruss
MathePower
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