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| Aufgabe | | Warum ist [mm] $||A||:=\sup_{x\in\IR^{n}\textbackslash\{0\}}\frac{||A*x||}{||x||}$ [/mm] endlich? (Dabei ist $||*||$ eine Vektornorm im [mm] \IR^{n} [/mm] ) |
Hallo!
Ich habe zu obigem zwei Fragen:
1. Kann man das dem Ausdruck irgendwie direkt ansehen?
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Man kann ja schreiben:
[mm] $||A||:=\sup_{x\in\IR^{n}\textbackslash\{0\}}\frac{||A*x||}{||x||} [/mm] = [mm] \sup_{x\in\IR^{n}, ||x||=1}||A*x||$
[/mm]
Wenn man nun zeigt, dass $A*x$ eine stetige Funktion in x ist, so ist auch $||A*x||$ in x stetig und es ist klar, dass das Maximum angenommen wird, womit auch die Beschränktheit der Norm folgt.
Allerdings würde ich dann gern wissen, wie man zeigt, dass [mm] $f:x\mapsto [/mm] A*x$ stetig ist. Wenn ich schreibe:
$||f(x)-f(y)|| = ||A*x-A*y|| = ||A*(x-y)||$
weiß ich nicht, wie ich jetzt weitermachen soll, ohne schon zu verwenden, dass ||A|| endlich ist...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Fr 23.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Ein Weg zu Fuß:
Sei $f(x):= A*x$
Mit [mm] a_j [/mm] bezeichnen wir die j-te Zeile von A, also [mm] a_j= (a_{j1}, ...,a_{jn)}. [/mm] Dann schreibt sich f so:
$f(x)= [mm] \vektor{a_1*x \\ :\\: \\ a_n*x}$,
[/mm]
wobei der Punkt, das Skalarprodukt bedeuten soll.
Nun ist Dir sicher bekannt, dass f stetig ist [mm] \gdw [/mm] f ist komponentenweise stetig. Damit schau Dir mal die j-te Komponente von f an:
$x= [mm] (x_1,...,x_n) \to a_j*x= a_{j1}x_1+...+a_{jn}x_n$
[/mm]
Diese Zuordnung ist sicherlich stetig.
FRED
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Hallo fred,
vielen Dank für deine Antwort!
Jetzt ist es mir klar. Ich habe immer versucht, sofort $||A*(x-y)|| [mm] \le [/mm] ||A||*||x-y||$ abzuschätzen. Aber es ist doch von vornherein nicht klar, dass ||A|| endlich ist, oder?
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo fred,
>
> vielen Dank für deine Antwort!
> Jetzt ist es mir klar. Ich habe immer versucht, sofort
> [mm]||A*(x-y)|| \le ||A||*||x-y||[/mm] abzuschätzen. Aber es ist
> doch von vornherein nicht klar, dass ||A|| endlich ist,
> oder?
mich irritiert die Frage ein wenig. Aufgrund der Definition von [mm] $\|A\|$ [/mm] ist das erstmal natürlich nicht sofort klar und auch nicht trivial, aber, wenn wir [mm] $f(x):=A*x\,$ [/mm] als stetig erkannt haben (und FRED hat das ja begründet), so ist [mm] $f_{|K_1(0)\setminus \{0\}}\,$ [/mm] natürlich als stetige Funktion auf einer kompakten Menge beschränkt.
(Es ist klar, bzgl. welchen metrischen Räumen [mm] $f\,$ [/mm] zu verstehen ist.)
Und "sogar" [mm] $f_{|K_1(0)}$ [/mm] ist daher schon beschränkt, wobei [mm] $K_1(0):=\{y \in \IR^n: \|y-0\| \le 1\}\,.$
[/mm]
(Das kann man benutzen, braucht man aber nicht, denn auch [mm] $K_1(0)\setminus \{0\}$ [/mm] ist kompakt.)
P.S.:
Schau' Dir auch mal die ![[]](/images/popup.gif) Charakterisierung der Stetigkeit bei linearen Abbildung in Bemerkung 28.11 an. Diese ist übrigens bei linearen Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen interessant, bei endlichdimensionalen hat man eigentlich stets Stetigkeit, und damit auch Beschränktheit (im Sinne von Definition 28.10).
P.P.S.:
Deinen Ansatz
[mm] $$\|f(x)-f(y)\|=\|Ax-Ay\| \le \|A\| \|x-y\|$$
[/mm]
kannst Du jetzt, sofern [mm] $A\,$ [/mm] beschränkt ist, auch verwenden, um damit die glm. Stetigkeit zu beweisen. Es geht sogar Lipschitz.
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für deine Antwort, und auch danke für den Link.
Wieder etwas dazugelernt 
Grüße,
Stefan
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