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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:10 Di 15.11.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Gegeben sei die Raumkurve $ \gamma = \{ r(t)|t \in \left[0;\tau\right], r(t)=e^{ct}*\vektor{cos(\omega t) \\ sin(\omega t)} \in \IR^{2} \} $, mit $ \omega , c \in \IR $.
a) Skizzieren Sie die Raumkurve für den Fall $ \tau = \bruch{8\pi}{\omega} $ und $ c=\bruch{1}{\tau} $.
b) Berechnen Sie den Betrag der Kurvengeschwindigkeit $ |\dot{r}(t) | $ .
c) Berechnen Sie die Bogenlänge von $s(t)$ im Intervall $ \left[0;t\right] $.
d) Bestimmen Sie die natürliche Parametrisierung r_{L}(s).
e) Überprüfen Sie explizit, dass $ |\bruch{dr_{L}}{ds}| $ gilt. |
Hallo!
Ich wollte mal schauen, ob meine Lösungen soweit in Ordnung sind, bzw. habe noch zu einer Aufgabenstellung eine Frage.
a) Habe ich gezeichnet, will ich jetzt aber nicht extra noch dranhängen. Ist eine Spirale, die bei x=1 anfängt und bei x=e aufhört.
b) $ \dot{r}(t)=e^{ct}*\vektor{c*cos(\omega t)-\omega sin(\omega t) \\ c* sin{\omega t)+\omega cos(\omega t)} $
Für den Betrag schreibe ich mal mein Endergebnis auf, wenn es falsch ist, werde ich meine Rechnung explizit nochmal angeben.
$ |\dot{r}(t) |= e^{ct}*\wurzel{c^{2}+\omega^{2}} $
c) $ s(t)=\integral_{0}^{t}{ |\dot{r}(t) | dt} = \integral_{0}^{t}{e^{ct}*\wurzel{c^{2}+\omega^{2}}}=\bruch{\wurzel{c^{2}+\omega^{2}}}{c}*(e^{2t}-1) $
d) Hier beginne ich nun mit meinen Fragen. Um die natürliche Parametrisierung zu ermitteln müsste ich nun die Bogenlänge nach t umformen und dann dieses in $ r(t) $ einsetzen.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann müsste $ t=\bruch{1}{c}ln(\bruch{s}{\wurzel{c^{2}+\omega^{2}}}) $ sein.
Sofern dies stimmt, müsste ich ja nur noch t einsetzten.
e) Genau habe ich diese Aufgabenstellung nicht verstanden. Vermutlich muss ich nur $ r_{L} $ ableiten und den Betrag davon bilden. Was aber überprüfe ich denn damit?
Ich danke schon mal im Voraus für die Hilfe
Gruß
Ardbeg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Di 15.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Kurve hört nicht bei x=e auf, ist [mm] \tau [/mm] denn festgelegt als [mm] \tau=2\pi/\omega? [/mm]
der Rest ist richtig, bis auf die Auflösung von s(t) nach t, die rechne nach
bei e) fehlt etwas [mm] |dr_L/ds|=1 [/mm] wohl
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 15.11.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke erst einmal für deine Hilfe. Also ich habe es nochmal nachgerechnet, die Lösung meiner "hinteren" Grenze ist immer noch x=e. Für $\tau=\bruch{8\pi}{\omega}} $ und $ c=\bruch{1}{\tau} $ komme ich auf das Entsprechende Ergebnis.
Bei der letzten Aufgabe hat es so auf dem Zettel gestanden. Bin auch nicht sicher was ich genau ausrechnen.
Gruß
Ardbeg
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