Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 So 20.03.2011 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Gegeben:
f: [mm] R^{2} [/mm] ->R, f(x,y) = [mm] x^{2}+xy+y^{2}
[/mm]
g: [mm] R^{2} [/mm] ->R, g(x,y) = 1- [mm] \bruch{x^{2}}{2}- \bruch{y^{2}}{2}
[/mm]
und die Menge N = {(x,y) [mm] \in R^{2} [/mm] : [mm] g(x,y)\ge [/mm] 0}
a) Begründen Sie kurz, warum das glob. Minimum u. das glob. Max von f|N existieren.
b) Bestimmen Sie die globalen Extrema von f|N. |
zu a)
vom logischen her ist die Funktion nicht konstant dh, auf einem abgegrenzten Bereich muss es also globale Minima und maxima geben(zb. Randpunkte)
zu b)
Lagrangeansatz:
[mm] L(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] x^{2}+xy+y^{2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] (1- [mm] \bruch{x^{2}}{2}- \bruch{y^{2}}{2})
[/mm]
grad L = [mm] \vektor{(2x +y -\lambda x) \\ (x +2y -\lambda y)\\ (1- \bruch{x^{2}}{2}- \bruch{y^{2}}{2})} [/mm] = 0
aus 1) y = [mm] x\lambda [/mm] -2x
in 2) x+2( [mm] x\lambda [/mm] -2x) - ( [mm] x\lambda [/mm] -2x) [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda^2 [/mm] +3 = 0
keine Lösungsmenge??? ausser vlt komplex?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 So 20.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben:
>
> f: [mm]R^{2}[/mm] ->R, f(x,y) = [mm]x^{2}+xy+y^{2}[/mm]
> g: [mm]R^{2}[/mm] ->R, g(x,y) = 1- [mm]\bruch{x^{2}}{2}- \bruch{y^{2}}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> und die Menge N = {(x,y) [mm]\in R^{2}[/mm] : [mm]g(x,y)\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0}
>
> a) Begründen Sie kurz, warum das glob. Minimum u. das
> glob. Max von f|N existieren.
> b) Bestimmen Sie die globalen Extrema von f|N.
> zu a)
>
> vom logischen her ist die Funktion nicht konstant dh, auf
> einem abgegrenzten Bereich muss es also globale Minima und
> maxima geben(zb. Randpunkte)
Nein. Wie wärs damit: N ist kompakt und f ist stetig auf N.
>
> zu b)
>
> Lagrangeansatz:
Damit bestimmst Du Extrema von f auf $\partial N.$
Dann mach noch eine Untersuchung imm Inneren von N
FRED
>
> [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] = [mm]x^{2}+xy+y^{2}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] (1-
> [mm]\bruch{x^{2}}{2}- \bruch{y^{2}}{2})[/mm]
>
>
> grad L = [mm]\vektor{(2x +y -\lambda x) \\ (x +2y -\lambda y)\\ (1- \bruch{x^{2}}{2}- \bruch{y^{2}}{2})}[/mm]
> = 0
>
> aus 1) y = [mm]x\lambda[/mm] -2x
>
> in 2) x+2( [mm]x\lambda[/mm] -2x) - ( [mm]x\lambda[/mm] -2x) [mm]\lambda[/mm] = 0
> [mm]\lambda^2[/mm] +3 = 0
>
> keine Lösungsmenge??? ausser vlt komplex?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 20.03.2011 | | Autor: | StevieG |
zu a)
die Nebengedingung ist ein kreis, deshalb ist die Menge Beschränkt, und abgeschlossen : Randpunkte enthalten. daraus folgt Menge kompakt
zu b)
wie rechne ich das aus?
was bedeutet den dieses f|N ? (alte Klausuraufgabe hatten wir nicht)
kann man nicht mit Lagrange lösen?
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Hallo StevieG,
> zu a)
>
> die Nebengedingung ist ein kreis, deshalb ist die Menge
> Beschränkt, und abgeschlossen : Randpunkte enthalten.
> daraus folgt Menge kompakt
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu b)
>
> wie rechne ich das aus?
>
> was bedeutet den dieses f|N ? (alte Klausuraufgabe hatten
> wir nicht)
Das bedeutet " f eingeschränkt auf N"
>
> kann man nicht mit Lagrange lösen?
>
Für den Rand von N ( [mm]\partial N[/mm] ) kannst Du Lagrange verwenden.
Für den inneren Bereich von N führst Du eine normale Extremwertuntersuchung durch.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 So 20.03.2011 | | Autor: | StevieG |
aber wenn ich lagrange anwende bekomme ich keine reelle lösung?
also einmal die Funktion ohne nebenbedingung untersuchen und einmal auf dem Rand
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 So 20.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> aber wenn ich lagrange anwende bekomme ich keine reelle
> lösung?
Das kann nicht sein. Der Rand ist kompakt und f ist darauf stetig. Deine obige Rechnung hat einen Vorzeichenfehler.
FRED
>
> also einmal die Funktion ohne nebenbedingung untersuchen
> und einmal auf dem Rand
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 So 20.03.2011 | | Autor: | StevieG |
Ok:
meine Kandiaten für die Randextrempunkte sind [mm] x_{1}=1,x_{2}=-1,y_{1}=1,y_{2}=-1
[/mm]
f(1,1) = 3 => glob. Maximum
f(-1,-1) = 3 => glob. Maximum
f(1,-1) = 1 => glob. Min
f(-1,1) = 1 => glob. Min
für die Extrempunkte im Inneren des Kreises:
grad f = [mm] \vektor{2x +y \\ 2y +x} [/mm] = 0
daraus folgt kandidaten sind x= 0 und y = 0
Hesse-Matrix sagt [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } [/mm] Determinante von H ist 4-1 = 3
f(0,0) = 0 wäre doch kein glob Minimum?
stimmt das soweit?
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Hallo StevieG,
> Ok:
>
> meine Kandiaten für die Randextrempunkte sind
> [mm]x_{1}=1,x_{2}=-1,y_{1}=1,y_{2}=-1[/mm]
>
> f(1,1) = 3 => glob. Maximum
> f(-1,-1) = 3 => glob. Maximum
Zunächst sind dies lokale Maxima.
>
> f(1,-1) = 1 => glob. Min
> f(-1,1) = 1 => glob. Min
>
Dies sind zunächst lokale Minima.
>
> für die Extrempunkte im Inneren des Kreises:
>
> grad f = [mm]\vektor{2x +y \\ 2y +x}[/mm] = 0
>
> daraus folgt kandidaten sind x= 0 und y = 0
>
> Hesse-Matrix sagt [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm] Determinante von
> H ist 4-1 = 3
>
> f(0,0) = 0 wäre doch kein glob Minimum?
Forme die Funktion f(x,y) geschickt um,
dann siehst Du, daß an der Stelle (0,0) ein
lokales Minimum vorliegt, das zugleich globales Minimum ist.
Die lokalen Maxima sind auch die globalen Maxima.
>
> stimmt das soweit?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 So 20.03.2011 | | Autor: | StevieG |
Also:
die Randpunkte sind lokale Minima und maxima, keine globalen minima und maxima, da sie auf einem bestimmten intervall betrachtet werden und deshalb auf ganz R betrachtet nicht die globalen sind?
was is der unterschied zwischen global und lokal?
zum umformen:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ersetzen durch 1?
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Hallo StevieG,
> Also:
>
> die Randpunkte sind lokale Minima und maxima, keine
> globalen minima und maxima, da sie auf einem bestimmten
> intervall betrachtet werden und deshalb auf ganz R
> betrachtet nicht die globalen sind?
Der Rand von N ist eine Teilmenge von N, daher sind die
auf dem Rand gefundenen Extrema nur lokale Extrema.
Aus allen gefundenen lokalen Extrema werden schliesslich
die globalen Extrema ermittelt.
>
> was is der unterschied zwischen global und lokal?
Global gilt hier für die ganze Menge N,
während lokal nur für eine Teilmenge von N gilt.
>
> zum umformen:
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] ersetzen durch 1?
Nein. Die Funktion
[mm]x^{2}+x*y+y^{2}[/mm]
ist mit Hilfe der quadratischen Ergänzung so umzuformen,
das daraus das Minimum ersehen werden kann.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 So 20.03.2011 | | Autor: | StevieG |
quadr. Ergänzung:
[mm] f(x,y)=x^{2} [/mm] +xy [mm] +y^{2}
[/mm]
= [mm] x^{2} [/mm] +xy [mm] +\bruch{y^{2}}{4}-\bruch{y^{2}}{4}+y^{2}
[/mm]
= [mm] (x+\bruch{y}{2})^{2} +\bruch{3}{4}y^{2}
[/mm]
? wo kann ich was sehen? 
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Hallo StevieG,
> quadr. Ergänzung:
>
> [mm]f(x,y)=x^{2}[/mm] +xy [mm]+y^{2}[/mm]
> = [mm]x^{2}[/mm] +xy
> [mm]+\bruch{y^{2}}{4}-\bruch{y^{2}}{4}+y^{2}[/mm]
> = [mm](x+\bruch{y}{2})^{2} +\bruch{3}{4}y^{2}[/mm]
>
> ? wo kann ich was sehen?
Überlege Dir nun, an welcher Stelle,
diese Summe ein Minimum annimmt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 So 20.03.2011 | | Autor: | StevieG |
für x und y?
wenn x=0 und y= 0
negative Werte werden durch das quadrat wieder positiv.
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Hallo StevieG,
> für x und y?
>
> wenn x=0 und y= 0
Demnach hat die Funktion f(x,y) in (0,0) ein Minimum,
das sogar global ist.
>
> negative Werte werden durch das quadrat wieder positiv.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 So 20.03.2011 | | Autor: | StevieG |
wie kann an der stelle 0 ein globales minimum sein, wenn doch an den Randpunkten f(x,y) = -1 das ist doch tiefer als 0
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Hallo StevieG,
> wie kann an der stelle 0 ein globales minimum sein, wenn
> doch an den Randpunkten f(x,y) = -1 das ist doch tiefer als
> 0
f(x,y) nimmt auf N keine Werte tiefer als 0 an.
Gruss
MathePower
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