Nebenklassen, Lagrange < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Fr 22.04.2016 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Ich versuche nun schon länger den Begriff der Nebenklassen zu verstehen. Mir geht einfach nicht ein, wie ich diese berechnen kann. Vl. könnte mir jemand dies anhand des folgenden beispieles näher erklären:
Sei G = [mm] \IZ/(20) [/mm] eine zyklische Gruppe mit der Ordnung 20. Gesucht sind nun zwei Untergruppen [mm] H_0 \le [/mm] H [mm] \le [/mm] G, welche die Aussage des Satzes von Lagrange erfüllen. Dabei soll [mm] H_0 [/mm] nicht die triviale Untergruppe sein und H [mm] \not= [/mm] G
Nunja der Satz von Lagrange sagt ja mal grundsätzlich aus, dass die Mächtigkeit |H| die Mächtigkeit |G| teilen muss. Ferner muss auch folgende Bedingung gelten: [mm] (G:H_0) [/mm] = (G:H) * [mm] (H:H_0) [/mm]
(G:H) beispielsweise ist ja nichts anders, als die ANzahl der linksnebenklassen von H in G . Wie bestimme ich jedoch jetzt im Konkreten Fall die Anzahl der Nebenklassen?
Als Untergruppen hätte ich mal Z/(10) und Z/(2) dies ist jedoch angeblich falsch bzw. handelt es sich nicht um Untegruppen. Meiner Meinung nach erfüllen sie jedoch die Bedingungen, sie sind eine Teilmenge von G und selbst Gruppen.
Ich würde mich über Hilfe sehr freuen 
lg
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> Hallo!
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> Ich versuche nun schon länger den Begriff der Nebenklassen
> zu verstehen. Mir geht einfach nicht ein, wie ich diese
> berechnen kann. Vl. könnte mir jemand dies anhand des
> folgenden beispieles näher erklären:
>
> Sei G = [mm]\IZ/(20)[/mm] eine zyklische Gruppe mit der Ordnung 20.
Hallo,
Du nimmst als Gruppe G also die Restklassen modulo 20 mit der Addition,
[mm] (G=\IZ/20\IZ;+).
[/mm]
Sie ist zyklisch und hat 20 Elemente, [mm] G=\{0_{20},1_{20},2_{20},3_{20},...,18_{20},19_{20}\}.
[/mm]
> Gesucht sind nun zwei Untergruppen [mm]H_0 \le[/mm] H [mm]\le[/mm] G, welche
> die Aussage des Satzes von Lagrange erfüllen. Dabei soll
> [mm]H_0[/mm] nicht die triviale Untergruppe sein und H [mm]\not=[/mm] G
>
> Nunja der Satz von Lagrange sagt ja mal grundsätzlich aus,
> dass die Mächtigkeit |H| die Mächtigkeit |G| teilen muss.
> Ferner muss auch folgende Bedingung gelten: [mm](G:H_0)[/mm] = (G:H)
> * [mm](H:H_0)[/mm]
>
> (G:H) beispielsweise ist ja nichts anders, als die ANzahl
> der linksnebenklassen von H in G . Wie bestimme ich jedoch
> jetzt im Konkreten Fall die Anzahl der Nebenklassen?
>
> Als Untergruppen hätte ich mal Z/(10) und Z/(2) dies ist
> jedoch angeblich falsch bzw. handelt es sich nicht um
> Untegruppen.
Ganz sicher sind das keine Untergruppen, denn die Elemente in diesen beiden Gruppen sind doch ganz andere als die in [mm] \IZ/20\IZ: [/mm] in [mm] \IZ/20\IZ [/mm] sind Restklassen modulo 20, [mm] \IZ/10\IZ [/mm] sind Restklassen modulo 10.
Allerdings - wahrscheinlich hattest Du das im Hinterkopf - finden wir Untergruppen von G, die isomorph zu den von Dir genannten Gruppen sind und tun, was sie tun sollen:
[mm] H_0:=\{0__{20},10_{20}}, |H_0|=2,
[/mm]
[mm] H:=\{0_{20},2_{20},4_{20},...,16_{20},18_{20}\}, [/mm] |H|=10.
Nun die Nebenklassen von [mm] H_0:
[/mm]
[mm] 0_{20}+H_0=H_0
[/mm]
[mm] 1_{20}+H_0={1_{20},11_{20}}
[/mm]
[mm] 2_{20}+H_0=\{2_{20},12_{20}}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] 9_{20}+H_0=\{9_{20},19_{20}\}
[/mm]
[mm] 10_{20}+H_0=\{10_{20},0_{20}\}=H_0
[/mm]
[mm] 11_{20}+H_0=\{11_{20},1_{20}\}=1_{20}+H_0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] 19_{20}+H_0=9_20+H_0
[/mm]
Es gibt also 10 Nebenklassen von [mm] H_0.
[/mm]
Jetzt H:
[mm] 0_{20}+H=H
[/mm]
[mm] 1_{20}+H=\{1_{20},3_{20},5_{20},...,17_{20},19_{20}\}
[/mm]
[mm] 2_{20}+H=\{2_{20},4_{20},6_{20},...,18_{20},0_{20}}=H
[/mm]
[mm] 3_{20}+H=\{...\}=1_{20}+H
[/mm]
[mm] 4_{20}+H=\{...\}=H
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Es gibt also 2 Nebenklassen von H.
Es ist
[mm](G:H_0)[/mm] = (G:H) * [mm](H:H_0)[/mm],
also [mm] 10=2*(H:H_0) [/mm] und somit [mm] (H:H_0)=5.
[/mm]
Kannst ja mal prüfen, ob es stimmt.
LG Angela
> Meiner Meinung nach erfüllen sie jedoch die
> Bedingungen, sie sind eine Teilmenge von G und selbst
> Gruppen.
>
> Ich würde mich über Hilfe sehr freuen
>
> lg
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Sa 23.04.2016 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Deine Erklärungen sind schon sehr nachvollziehbar, danke!
Eines ist mit jedoch unklar. Wieso nehmen wir jetzt genaz due Addition? Liegt dies daran, dass für die Gruppe G gilt, dass G = [mm] \IZ/(20), [/mm] und wir somit als Gruppen operation die Addition haben? Es gilt ja quasi G = {0 + [mm] 6\IZ, [/mm] 1 + [mm] 6\IZ, [/mm] 2 + [mm] 6\IZ,...., [/mm] 5 + [mm] 6\IZ}. [/mm] Liege ich hier richtig?
danke und lg
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> Hallo!
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> Deine Erklärungen sind schon sehr nachvollziehbar, danke!
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> Eines ist mit jedoch unklar. Wieso nehmen wir jetzt genaz
> due Addition? Liegt dies daran, dass für die Gruppe G
> gilt, dass G = [mm]\IZ/(20),[/mm] und wir somit als Gruppen
> operation die Addition haben?
Hallo,
ich gehe mal davon aus, daß mit Deiner Schreibweise [mm] \IZ/(20) [/mm] das gemeint ist, was landläufig als [mm] \IZ/20\IZ [/mm] oder [mm] \IZ_{20} [/mm] geschrieben wird, also die Restklassen modulo 20.
Mit der Multiplikation wäre diese Menge ja gar keine Gruppe.
> Es gilt ja quasi G = 0 + [mm]6\IZ,[/mm] 1 + [mm]6\IZ,[/mm] 2 + [mm]6\IZ,....,[/mm] 5 + [mm][mm] 6\IZ. [/mm] Liege ich hier
> richtig?
???
Wie kommst Du jetzt plötzlich auf [mm] 6\IZ?
[/mm]
Könnte es sein, daß Du in eine andere Aufgabe geraten bist?
Aber ja, es ist [mm] \IZ/6\IZ [/mm] das, was Du oben schreibst.
Und auch diese Menge ist nur mit der Addition eine Gruppe.
Mit der Multiplikation ist die Menge der Einheiten von [mm] \IZ/6\IZ [/mm] eine Gruppe, oft geschrieben als ( [mm] \IZ/6\IZ)^{\*} [/mm] oder [mm] \IZ_6^{\*}=\{1+6\IZ,5+6\IZ\}.
[/mm]
LG Angela
>
> danke und lg
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Sa 23.04.2016 | | Autor: | nero08 |
Hopla, da bin ich wirklich auf eien andere Aufgabe gekommen ^^. Habe recherchiert und bin genau auf eine Aufgabe mit [mm] \IZ/(6) [/mm] gekommen, mir ist dann eben die Begründung eingefallen und hab voller euphorie dann das falsche Beispiel verwendet gg.
Aber da die begründung so passt, hab ich das Beispiel jetzt verstanden. Danke für deine Unterstützung! Du hast mir seh geholfen!
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