Nebenklassen von D4 in S4 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] (S_4 [/mm] : [mm] D_4) [/mm] und geben Sie alle Links- und Rechtsnebenklassen von [mm] D_4 [/mm] in [mm] S_4 [/mm] an. |
Hallo,
also [mm] (S_4 [/mm] : [mm] D_4) [/mm] habe ich schon berechnet:
[mm] (S_4 [/mm] : [mm] D_4)=\bruch{n!}{2n}=3
[/mm]
Nun aber zu den Nebenklassen. Dabei müsste ich doch nur die Gruppenelemente von [mm] D_4 [/mm] an [mm] S_4 [/mm] von links, bzw. rechts ranmultiplizieren, oder? Aber irgendwie weiß ich nicht genau wie ich das machen soll...
[mm] D_4 [/mm] sieht ja so aus:
[mm] D_4=\{id,\sigma, \sigma^2, \sigma^3, \tau, \tau \sigma, \tau \sigma^2, \tau \sigma^3 \}
[/mm]
Und [mm] S_4= \{1,2,3,4 \}.
[/mm]
Ich fang mal an, wie ich das machen würde:
[mm] idS_4=\{1,2,3,4\}
[/mm]
[mm] \sigma S_4= \{\sigma, 2\sigma, 3\sigma, 4\sigma\} [/mm] (aber das ist ja falsch, oder?)
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Vielen Dank schonmal im Voraus und Gruß
vom Congo.
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Hallo Congo,
die symmetrische Gruppe [mm] $S_4$ [/mm] ist [mm] \textbf{nicht} [/mm] gleich der Menge [mm] $\{1,2,3,4\}$, [/mm] sondern die Menge der bijektiven Abbildungen auf [mm] $\{1,2,3,4\}$ [/mm] und hat somit $24$ und nicht $4$ Elemente.
Die Linksnebenklassen von [mm] $D_4$ [/mm] in [mm] $S_4$ [/mm] haben die Gestalt [mm] $\sigma D_4$ [/mm] mit [mm] $\sigma \in S_4$.
[/mm]
Die Rechtsnebenklassen von [mm] $D_4$ [/mm] in [mm] $S_4$ [/mm] haben die Gestalt $ [mm] D_4 \sigma$ [/mm] mit [mm] $\sigma \in S_4$.
[/mm]
Gruß mathfunnel
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Hallo mathfunnel,
danke für deine schnelle Atwort.
D. h., wie muss ich denn jetzt da ran gehen, wenn ich jetzt die Nebenklassen bestimmen möchte?
Ich kenne ja nur die Diedergruppe [mm] D_4 [/mm] und die 24 Elemente von [mm] S_4. [/mm] Muss ich nun tatsächlich alle 24 Elemente von [mm] S_4 [/mm] links/rechts an die Diedergruppe ranmultiplizieren und das Ergebnis ist dann je eine Nebenklasse?
Gruß
congo
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Hallo congo,
es gibt, wie Du schon weißt genau $3$ Linksnebenklassen. Es reicht wenn Du für jede Linksnebenklasse $N$ einen Repräsentanten $r [mm] \in [/mm] N$ findest. Ein Repräsentant ist z.B. die identische Abbildung $id$ multiplizier mit einem Element aus $D$. Die zugehörige Linksnebenklasse ist $id D = D$. Im Wesentlichen gibt man $3$ Repräsentanten an und argumentiert warum die zugehörigen Linksnebenklassen verschieden sind. Wie sieht Dein Erzeugendensystem von [mm] $D_4$ [/mm] aus?
Danach die Betrachtung für Rechtsnebenklassen nicht vergessen.
Gruß mathfunnel
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> Wie sieht Dein Erzeugendensystem von [mm]D_4[/mm]
> aus?
Also [mm] D_4 [/mm] wird erzeugt von:
[mm] \sigma= \pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1} [/mm] und [mm] \tau=\pmat{1 & 2 & 3 &4\\ 1 & 4 & 3 & 2}
[/mm]
und es gilt wie gesagt:
[mm] D_4=\{ id, \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \tau, \tau\sigma, \tau\sigma^2, \tau\sigma^3 \}
[/mm]
Weiterhin gilt laut Script:
[mm] \sigma\tau=\tau\sigma^{n-1}=\tau\sigma^3
[/mm]
Also gehe ich da jetzt so ran:
[mm] U:=D_4=<\tau, \sigma>
[/mm]
[mm] idU=<\tau, \sigma>=D_4
[/mm]
[mm] \sigma U=\{\sigma, \sigma^2, \sigma^3, \tau\sigma^3, \tau, \sigma\tau\sigma^2, \sigma\tau\sigma^3\}
[/mm]
[...]
Aber letzteres kommt mir schon wieder falsch vor...
Sorry, das ich so aufm Schlauch stehe...
Gruß
congo
[edit] Achso, wenn ich beachte, dass [mm] \sigma\tau=\tau \sigma^3 [/mm] gilt, dann würde sich ja [mm] \sigma [/mm] U ergeben mit:
[mm] \sigma U=\{\sigma, \sigma^2, \sigma^3, \tau\sigma^3, \tau, \tau\sigma, \tau\sigma^2\}
[/mm]
Oder? Aber ich sehe grade, dass das wieder das gleiche wie [mm] U=D_4 [/mm] wäre nur ohne die Identität....
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Hallo congo,
natürlich ist [mm] $idD_4 [/mm] = [mm] \sigma D_4 [/mm] = [mm] \tau D_4 [/mm] $. Wir suchen neben $id$ weitere Repräsentanten aus [mm] $S_4\backslash D_4$, [/mm] also z.B. $(12)$ (Zyklenschreibweise). Die Linksnebenklasse [mm] $(12)D_4$ [/mm] hat dann einen leeren Schnitt mit [mm] $D_4$.
[/mm]
Gruß mathfunnel
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Ok, ich hoffe ich habe es nun verstanden. Also es geht darum die möglichen Zykel aus [mm] S_4 [/mm] zu finden, sodass bei einer Multiplikation von links an die Elemente von [mm] D_4 [/mm] ein Zykel rauskommt, der nicht in [mm] D_4 [/mm] enthalten ist.
Ist also [mm] (123)D_4 [/mm] auch eine Linksnebenklasse?
[mm] (123)\sigma=(1342)
[/mm]
[mm] (123)\sigma^2=(243)
[/mm]
[mm] (123)\sigma^3=(134)
[/mm]
[mm] (123)\tau=(1243)
[/mm]
[mm] (123)\tau\sigma=(142)
[/mm]
[mm] (123)\tau\sigma^2=(23)
[/mm]
[mm] (123)\tau\sigma^3=(134)
[/mm]
Also [mm] (123)D_4 [/mm] geschnitten [mm] D_4 [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Aber geht das nicht mit mehr als 3 Elementen von [mm] S_4?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Mo 10.05.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ok, ich hoffe ich habe es nun verstanden.
Ja, anscheinend, sieht ganz gut aus.
> Also es geht
> darum die möglichen Zykel aus [mm]S_4[/mm] zu finden, sodass bei
> einer Multiplikation von links an die Elemente von [mm]D_4[/mm] ein
> Zykel rauskommt, der nicht in [mm]D_4[/mm] enthalten ist.
>
> Ist also [mm](123)D_4[/mm] auch eine Linksnebenklasse?
Ja.
> [mm](123)\sigma=(1342)[/mm]
> [mm](123)\sigma^2=(243)[/mm]
> [mm](123)\sigma^3=(134)[/mm]
> [mm](123)\tau=(1243)[/mm]
> [mm](123)\tau\sigma=(142)[/mm]
> [mm](123)\tau\sigma^2=(23)[/mm]
> [mm](123)\tau\sigma^3=(134)[/mm]
Es fehlt (123)id = (123)
> Also [mm](123)D_4[/mm] geschnitten [mm]D_4[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
>
> Aber geht das nicht mit mehr als 3 Elementen von [mm]S_4?[/mm]
Mit [mm] D_4 [/mm] und [mm] (123)D_4 [/mm] hast du bis hier 16 Elemente von [mm] S_4 [/mm] erfaßt. Jetzt nimm mal eins von den restlichen und schau, was sich da so ergibt. Oder rat es vorher erst.
Oder nimm eins von den Elementen von [mm] (123)D_4, [/mm] z. B. (134), und bilde [mm] (134)D_4. [/mm] Welche Nebenklasse ergibt sich?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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