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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die symmstrische Matrix
A= [mm]\pmat{ 2\beta & 0 & 0 \\
0 &1&2\beta-3 \\
0 &2\beta-3 &1 } [/mm]
[mm]\beta\in\IR[/mm] so, a)dass A positiv definit b) positiv semidefinit c) negativ definit d) negativ semidefinit e) indefinit wird. |
Hallo Hallo, ich hänge nun seit 2 Tagen über meinen Übungszetteln und dachte nun frag ich mal hier, ob mir jemand helfen kann =)
Ich habe für die Eigenwerte [mm]\lambda_{1}=(2\beta) \lambda_{2}=(2\beta-2) \lambda_{3}=(-2\beta+4)[/mm]
damit habe ich für den Fall, dass die Matrix positiv definit sein soll [mm]1<\beta<2[/mm].
Ich hänge nun an der Aufgabenstellung dass Die Matrix negativ definit sein soll, denn damit dies zutrifft muss doch jede [mm]A_{i}[/mm] te Hauptunterdeterminante jeweils ein Wechselndes Vorzeichen haben.
[mm]A_{1}=2\beta A_{2}=2\beta[/mm]
Da nun die erste und zweite Hauptunterdeterminante gleich sind kann in dem Fall doch diese Matrix niemals negativ definit werden, somit wäre C) und D) nicht lösbar stimmt das?
Also wichtig für mich wäre es zu wissen, ob, damit die Matrix negativ definit wird das Vorzeichen der Unterdeterminanten alternieren muss, oder ob es reicht, dass die Gesamte Determinante negativ ist, was zwischen 0 und 1 der Fall wäre.
Viele Grüße
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> Bestimmen Sie für die symmstrische Matrix
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> A= [mm]\pmat{ 2\beta & 0 & 0 \\
0 &1&2\beta-3 \\
0 &2\beta-3 &1 }[/mm]
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> [mm]\beta\in\IR[/mm] so, a)dass A positiv definit b) positiv
> semidefinit c) negativ definit d) negativ semidefinit e)
> indefinit wird.
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> Hallo Hallo, ich hänge nun seit 2 Tagen über meinen
> Übungszetteln und dachte nun frag ich mal hier, ob mir
> jemand helfen kann =)
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> Ich habe für die Eigenwerte [mm]\lambda_{1}=(2\beta) \lambda_{2}=(2\beta-2) \lambda_{3}=(-2\beta+4)[/mm]
Hallo,
die habe ich nicht nachgerechnet.
>
> damit habe ich für den Fall, dass die Matrix positiv
> definit sein soll [mm]1<\beta<2[/mm].
Ja.
>
> Ich hänge nun an der Aufgabenstellung dass Die Matrix
> negativ definit sein soll, denn damit dies zutrifft muss
> doch jede [mm]A_{i}[/mm] te Hauptunterdeterminante jeweils ein
> Wechselndes Vorzeichen haben.
>
> [mm]A_{1}=2\beta A_{2}=2\beta[/mm]
>
> Da nun die erste und zweite Hauptunterdeterminante gleich
> sind kann in dem Fall doch diese Matrix niemals negativ
> definit werden,
Genau.
> somit wäre C) und D) nicht lösbar stimmt
> das?
Nein.
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> Also wichtig für mich wäre es zu wissen, ob, damit die
> Matrix negativ definit wird das Vorzeichen der
> Unterdeterminanten alternieren muss, oder ob es reicht,
> dass die Gesamte Determinante negativ ist, was zwischen 0
> und 1 der Fall wäre.
Es muß die Determinante positiv sein, und die Vorzeichen müssen wechseln.
Vielleicht überlegst Du es Dir auch so: es ist doch A neg. definit <==> -A positiv definit ist.
Du solltest auch mal schauen, ob der Zusammenhang zwischen der Definitheit und den Vorzeichen der Eigenwerte bei Euch dran war.
Das könnte man, da Du die Eigenwerte berechnet hast, ja mit Gewinn nutzen.
Gruß v. Angela
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> Viele Grüße
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Demnach wäre die Determinante zwischen 0 und 1 negativ definit, wobei die Hauptunterdeterminanten dann aber keine wechselnden Vorzeichen hätten,... das wäre aber dann ja ein Wiederspruch... oder?
Daher kann die Matrix egal bei welchem Wert von [mm] \beta [/mm] nicht negativ definit werden. Jedoch negativ semidefinit, wenn [mm] \beta [/mm] = 0, da Die erste Determinante = 0, die zweite= 0 und die dritte = -9
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> Demnach wäre die Determinante zwischen 0 und 1 negativ
> definit, wobei die Hauptunterdeterminanten dann aber keine
> wechselnden Vorzeichen hätten,... das wäre aber dann ja
> ein Wiederspruch... oder?
Hallo,
auf diese Frage kann ich nicht gescheit antworten:
ich weiß überhaupt nicht, worauf Du Dich mit "demnach" beziehst, und ich kenne keine negativ definiten Determinanten.
>
> Daher kann die Matrix egal bei welchem Wert von [mm]\beta[/mm] nicht
> negativ definit werden.
Die Folgerung kann ich wie gesagt nicht nachvollziehen, die Aussage aber, daß die Matrix für kein [mm] \beta [/mm] neg. definit ist, stimmt.
> Jedoch negativ semidefinit, wenn
> [mm]\beta[/mm] = 0, da Die erste Determinante = 0, die zweite= 0 und
> die dritte = -9
Welches Kriterium verwendest Du hier?
Ich glaube, ich kenne es nicht...
Oder ist es ein ausgedachtes Kriterium?
Gruß v. Angela
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Ich habe mich bei den Kriterien verrannt, für Positiv wie negativ semidefinit muss det(A)=0 sein... Bei vorigem post bin ich mir selber grade garnicht mehr sicher wo ich die Werte genommen habe...
Auf jeden Fall Vielen Dank für die Unterstützung, ich habe die Aufgabe gelöst
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