Neue Aufgabe Klasse 11-13 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 20:31 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
So, damit hier mal ein wenig Schwung in die Bude kommt *g*, eine neue Aufgabe. Sie stammt wie so oft aus der Bundesrunde für Klasse 11-13. Das schöne ist, das möchte ich ihr vorwegnehmen, dass man keine Kenntnis über irgendwelche exorbitanten Sätze braucht, um sie zu lösen. Ich kenne auch nicht allzu viele, hab sie aber dennoch hinnbekommen und fande sie eben deshalb sehr schön, da man sie mit einem Schuss Motivation hinbekommen kann!
Es sei a(n) diejenige ganze Zahl, die [mm]\sqrt{n}[/mm] am nächsten liegt.
Man berechne
[mm]\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{2004}}[/mm]
Viel Spaß!!
Gruß,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Di 03.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Schreibe dir die Werte [mm]a_1,a_2,...,a_{21}[/mm] auf und versuche eine Regelmäßigkeit zu finden.
Wenn du sie gefunden hast, dann beweise sie mit 2 geschickt gewählten Ungleichungen.
Bedenke: Die Funktion a nimmt genau dann die höhere Zahl, wenn die erste Dezimalstelle der Wurzel größer gleich 5 ist, d.h. wenn sich durch Abziehen von 0.5 der Einerwert der Wurzel nicht ändert.
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Di 03.08.2004 | | Autor: | Christian |
Hallo.
Netter Tip, aber warum so kompliziert?
Man könnte das doch schließlich auch "runden" nennen 
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Di 03.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Christian.
Schon, jedoch war die Aufgabe so formuliert und ich habe es so übernommen.
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
Hallo.
Also es ist bestimmt nicht die Musterlösung und ziemlich chaotisch obendrein, wahrscheinlich dadurch auch noch falsch, aber das hier ist das, was ich mir auf die Schnelle dazu gedacht habe:
Also: bei dem Wert [mm]n=(c-\bruch{1} {2})^2+k-\bruch{1} {4}=c^2-c+k c,k \in \IN[/mm] nimmt [mm]a_i[/mm] den Wert c an, und das bis (ausschließlich) zu dem Index [mm]c^2+c+1[/mm].
Das sind dann, wie leicht nachzuprüfen ist, genau 2c Folgenglieder mit dem Wert c.
Dann gilt für die zu berechnende Summe für die Folgenglieder [mm]a_1[/mm] bis [mm]a_{1980=44^2+44}[/mm]:
[mm]\sum_{c=1}^{44} 2c*\bruch{1} {c}=88[/mm]
Hinzu kommen die 24 Folgenglieder von [mm]a_{1981}[/mm] bis [mm]a_{2004}[/mm] die alle den Wert 45 haben.
Daher ist die gesuchte Summe
[mm]S=88+\bruch{24} {45}=\bruch{1328} {15}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Di 03.08.2004 | | Autor: | Christian |
Hallo.
Sorry, daß ich hier nochmal posten muß, aber irgendwie ist meine (mittlerweile numerisch bestätigte) Komplettlösung als Frage durchgegangen... das hier soll nun die dementsprechende Antwort werden:
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Di 03.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Christian19!
> Sorry, daß ich hier nochmal posten muß, aber irgendwie ist
> meine (mittlerweile numerisch bestätigte) Komplettlösung
> als Frage durchgegangen... das hier soll nun die
> dementsprechende Antwort werden:
Warum Antworten auf Übungsfragen vom MatheRaum als "Fragen" behandelt werden steht hier
read?f=26&t=585&i=585
(Schaltfäche 1)
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Di 03.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Christian.
Deine Lösung ist zwar sehr kurz gefasst, dennoch ist sie vollkommen richtig und genau das, was ich auch gemacht habe. Die ausführliche Variante kannst du dir auf http://www.Hanno-Becker.de/Beweise2.pdf anschauen, sie macht jedoch nichts anderes als du.
Alle Achtung!
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:56 So 08.08.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Von mir kommt nun eine wirklich caotische, aber eigentlich simple, andere Lösung:
N(k) < [mm] \wurzel{n}[/mm] < N(k+1) mit N(i) als natürliche Zahl
Es gilt nun: [mm] N(k)^2 [/mm] < n < [mm] N(k+1)^2
[/mm]
Da k und k+1 unterschiedlicher Parität sind, sind auch [mm] k^2 [/mm] und [mm] (k+1)^2 [/mm] unterschiedlicher Parität und somit ist das arithmetische Mittel Mk von N(k) und N(k+1) nicht ganzzahlig, wodurch n immer näher bei N(k) oder N(k+1) liegt [I]
A(k) ist die Anzahl der Zahlen zwischen M(k) und der k-ten Quadratzahl die n annimmt bzw. [mm] k^2. [/mm] (Bsp. A(3): Zahlen zwischen 9 und M(3) = [mm] M(arit){3^2;4^2}; [/mm] also {10; 11; 12}--> A(3) = 3)
A'(k) ist die Anzahl der Zahlen Zwischen M(k) und der (k+1) Quadratzahl die n annimmt bzw. [mm] (k+1)^2
[/mm]
Da M(k) das arith. Mittel zwischen [mm] k^2 [/mm] und [mm] (k+1)^2 [/mm] ist, ist A(k)=A'(k) (II)
Betrachten wir nun um wieviel die Anzahl der Summanten zwischen [mm] x^2 [/mm] ^ [mm] (x+1)^2 [/mm] und [mm] (x+1)^2 [/mm] ^ [mm] ((x+1)+1)^2 [/mm] zunimmt:
[mm] (x+1)^2=x^2+(2x+1)
[/mm]
[mm] ((x+1)+1)^2=(x+1)^2+(2x+2+1)
[/mm]
Die Anzahl der Summanten zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen AQ(l) [mm] [x^2;(x+1)^2[ [/mm] ist um zwei geringer als die Anzahl der Summanten zwischen den zwei nächtgrößeren Quadratzahlen [mm] [(x+1)^2;(x+2)^2[ [/mm] AQ(l+1)=AQ(l)+2 (III)
An(k) ist die Anzahl der a(n), die auf k gerundet werden. Aus (II) und (III) ergibt sich, dass A(k+1) = A(k) +1 (IV)
An(k) = A'(k) + A(k+1) +1 (' +1 da zwischen A'(k) und in A(k+1) genau eine Quadratzahl [mm] k^2 [/mm] liegt)
Aus (IV) ergibt sich An(k+1)=An(k)+2
Da An(0)=0 und An(1)=2 ist An(k)=2k (Induktionsprinzip)
Das bedeutet nun:
Auf 1 wird An(1)=2 mal gerundet -->diese Summanten bilden für sich eine Summe von 2*1/1 =2
Auf 2 wird An(2)=4 mal gerundet --> diese Summanten bilden für sich eine Summe von 4*1/2 =2
Auf J wird An(J)=2J mal gerundet --> diese Summanten bilden für sich eine Summe von 2J*1/J =2
[mm] \wurzel{2004} = 44,7... [/mm]
Das heist alle auf 44 oder auf kleinere Zahlen gerundete Zahlen als Summe 44*2 = 88 ergeben
[mm] M(44)=(44^2+45^2)*0,5 [/mm] =1980,5
Somit sind alle Zahlen bis 1980 auf 44 oder kleinere Zahlen gerundet worden, und die 24 verbleibenden Zahlen (2004-1980 = 24) werden auf 45 gerundet und bilden für sich eine Summe von 24*1/45
Sommit ergibt sich für die gesuchte Summe 1/a(1) +1/a(2) +...+ 1/a(2004) = 88 + 8/15
Ich hoffe, da mann bei dem ganzen Durcheinander an Variablen die simple Beweisidee noch gut nachvollziehen kann (Hab es extra ausführlich geschrieben). Die Lösung dürfte zumindest auf jedenfall richtig sein:)
|
|
|
|
