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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 So 12.09.2004 | | Autor: | Welpe |
Hallo!!
Ich habe Probleme bei einer Aufgabe zum Newton-Verfahren. Sie lautet folgendermaßen:
"In einem liegenden zylinderförmigen Öltank, der 1000 l fasst, sollen an einem senkrecht eingeführten Maßstab Marken angebracht werden, die unmittelbar den gerade im Tank befindenen Inhalt ablesen lassen. An welchen Stellen des Maßstabes sind die Marken für 100 l, 200 l, 300 l, ..., 1000 l anzubringen?"
Mein Ansatz ist bisher:
Ich habe in ein Koordinatensystem ein Rechteck mit x = h und y = r gezeichnet. Das Volumen eines Zylinders ist nun: V= [mm] \pi [/mm] * [mm] \int_{0}^{h} r^2\, dx [/mm]. Daraus ergibt sich für: r = [mm] \wurzel{\bruch{1000}{pi * h}} [/mm] . Aber von dieser Gleichung gibt es doch keine Nullstellen. Wie kann ich da das Newton-Verfahren anwenden? Wahrscheinlich ist mein Ansatz auch total falsch. Wäre wirklich super nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Vielen Dank schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 So 12.09.2004 | | Autor: | Micha |
> Hallo!!
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> Ich habe Probleme bei einer Aufgabe zum Newton-Verfahren.
> Sie lautet folgendermaßen:
>
> "In einem liegenden zylinderförmigen Öltank, der 1000 l
> fasst, sollen an einem senkrecht eingeführten Maßstab
> Marken angebracht werden, die unmittelbar den gerade im
> Tank befindenen Inhalt ablesen lassen. An welchen Stellen
> des Maßstabes sind die Marken für 100 l, 200 l, 300 l, ...,
> 1000 l anzubringen?"
>
> Mein Ansatz ist bisher:
> Ich habe in ein Koordinatensystem ein Rechteck mit x = h
> und y = r gezeichnet. Das Volumen eines Zylinders ist nun:
> V= [mm]\pi[/mm] * [mm]\int_{0}^{h} r^2\, dx [/mm]. Daraus ergibt sich für: r
> = [mm]\wurzel{\bruch{1000}{pi * h}}[/mm] . Aber von dieser Gleichung
> gibt es doch keine Nullstellen. Wie kann ich da das
> Newton-Verfahren anwenden? Wahrscheinlich ist mein Ansatz
> auch total falsch. Wäre wirklich super nett, wenn mir
> jemand weiterhelfen könnte! Vielen Dank schon mal im
> Voraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
>
Irgendwie fehlen da noch Angaben in dieser Aufgabenstellung. Mich würde z.B. mal die länge des Zylinders interessieren. Denn davon fängt ja auch der Durchmesser ab:
$V = 0,25 [mm] \pi [/mm] l^2h$ wobei l die Länge des Tanks ist.
Wenn ich z.B. eine Länge von 1 m veranschlage, habe ich für meinen 1000l-Tank einen Durchmesser von ...
$d = [mm] \sqrt{\frac{4 *1000l}{1m *\pi}} [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{4m^3}{\pi m}} \approx [/mm] 1,13m$.
Bei 2 m Länge ist die ganze Geschichte...
$d = [mm] \sqrt{\frac{4 *1000l}{2m *\pi}} [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{2m^3}{\pi m}} \approx [/mm] 0,8m$.
Und je nachdem hängt davon auch die Skalierung des Messstabes ab.
Vielleicht postest du mal, ob noch mehr Angaben in der Aufgabenstellung gegeben sind.
Gruß, Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 So 12.09.2004 | | Autor: | Welpe |
Hallo!!
Genau das ist auch meine Schwierigkeit. Ich habe die Aufgabe Wort wörtlich aus dem Buch kopiert. Es gibt nicht mehr Angaben. Deswegen weiß ich auch nicht, wie man diese Aufgabe lösen kann. Danke aber für die Antwort!
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Es wäre ganz gut, Radius oder Länge des Zylinders zu kennen.
Das Füllvolumen ergibt sich aus
Kreisabschnittsfläche * ZylinderLänge .
Nimmt man den Winkel $ [mm] \phi [/mm] $ als Parameter so ist die Fläche $ F $
die Sektorfläche abzüglich der Fläche eine gleichschenkeligen 3ecks.
Sie Sekt.fl. ist [mm] $r^2\pi \frac{2\phi}{2\pi} [/mm] = [mm] r^2 \phi [/mm] $
die 3ecksf. ist [mm] $(r\cdot \sin \phi)\cdot(r\cdot \cos \phi) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}r^2 \sin 2\phi [/mm] $
( das stimmt auch für [mm] $\phi [/mm] > [mm] \pi [/mm] / 2$, wofür eine 3ecksfläche hinzukommen muß )
Die zu markierende Höhe ist dann $r [mm] \cdot [/mm] (1 - [mm] \cos \phi)$
[/mm]
per Newtowverfahren näherungsweise Lösen mußt Du nun die Gleichung
[mm] $r^2 \left( \phi - \frac{1}{2}r^2 \sin 2\phi \right) [/mm] = F $
für die F Werte die sich für die gewünschen Füllstände ergeben.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 So 12.09.2004 | | Autor: | Welpe |
OK, vielen, vielen Dank! 
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