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| Aufgabe | Das Newton-Verfahren konvergiert nicht quadratische, und manchmal überhaupt nicht, für die folgenden Beispiele.
a) [mm] f(x)=x^3 [/mm] - 2x +2, [mm] x_0=0
[/mm]
b) [mm] f(x)=x^{1/3}, x_0=1
[/mm]
[mm] c)f(x)=\begin{cases} x+x^2sin(2/x), & \mbox{für } x \not= 0\\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
d) [mm] f(x)=x^2 [/mm] |
Hi, also wir sollen diese beiden Sätzen hier prüfen:
Satz 1:
Die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] besitze in [mm] x^{*} \in \IR [/mm] eine Nullstelle, es sei also [mm] f(x^{*})=0. [/mm] Es gelte:
1. Die Funktion f ist auf einem Intervall [mm] U^{*}, [/mm] welches [mm] x^{*} [/mm] im Inneren enthält, stetig differenzierbar und f' dort lipschitzstetig ist.
2. Es ist [mm] f'(x^{*})\not=0, [/mm] d.h. [mm] x^{*} [/mm] ist eine einfache Nullstelle von f.
... dann gilt die Newton-Vorschrift [mm] x_{k+1}:=x_k [/mm] - [mm] \bruch{f(x_k)}{f'(x_k)}
[/mm]
Die Folge [mm] \{x_k\} [/mm] konvergiert dann quadratisch gegen [mm] x^{*}
[/mm]
Satz 2:
Der zweite Satz ist sehr ähnlich, hier wird nur noch vorausgesetzt, dass f auf einem Intervall zweimal stetig differenzierbar sein sein.
Jetzt frage ich mich gerade, wie fängt man diese Aufgabe an? Soll ich jetzt einfach die Newton-Vorschrift anwenden, und schauen was passiert? Also [mm] x_{k+1}:=x_k [/mm] - [mm] \bruch{f(x_k)}{f'(x_k)}???
[/mm]
Danke für Hilfe.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mo 03.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denke du sollst das an Hand der Beispielfkt. überprüfen, 1. ob die Vors. gilt, 2. ob die Behauptung dann gilt.
Wenn die Aufgabe mit diesen fkt zusammenhängt, was aus deinem Text nicht eindeutig hervorgeht.
[mm] x_0 [/mm] bei [mm] f(x)=x^2 [/mm] fehlt!
Gruss leduart
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Hi.
> Wenn die Aufgabe mit diesen fkt zusammenhängt, was aus deinem Text nicht eindeutig hervorgeht. $ [mm] x_0 [/mm] $ bei $ [mm] f(x)=x^2 [/mm] $ fehlt!
Also in der Aufgabe steht bei uns nur noch, warum passt weder satz 2.1 noch satz 2.2, und das sind die beiden Sätze, die ich dort oben "nicht ganz genau" wiedergegeben habe.
Ich habe mal bei den ersten beispielen bisschen gerechnet:
a) [mm] f(x)=x^3 [/mm] - 2x + 2, [mm] x_0=0 [/mm] und [mm] f'(x)=3x^3 [/mm] - 2
damit erhalten wir [mm] x_1=0-2/(-2)=1 [/mm] und [mm] x_2=1-1/1=0
[/mm]
Damit bekommen wir nur die Werte 1 und 0 und wir drehen uns nur im Kreis herum. Außerdem gilt [mm] f(1)\not=0 [/mm] und [mm] f(0)\not=0. [/mm] Damit ist ja die Vor. für Satz 1 schon mal nicht erfüllt. Wie zeige ich aber, dass es nicht quadratisch konvergiert???
b) [mm] f(x)=x^{1/3} [/mm] und [mm] f'(x)=\bruch{1}{3}x^{-2/3} [/mm] mit [mm] x_0=1
[/mm]
wir erhalten [mm] x_1=1-1/(1/3) [/mm] = -2
[mm] x_2=-2- \bruch{-1,25}{\bruch{1}{3}(-2)^{-2/3}} [/mm] und hier gehts ja schon nicht weiter.
Aber wie kann ich auch hier zeigen, dass es nicht quadratisch konvergiert??
Danke für Hilfe.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 11.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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