Newton - Verfahren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Do 04.12.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend alle zusammen!
Ich habe Fragen zu einer Notation und ihrere Verbindung zum Newton - Verfahren.
So, aus eine Buch habe ich die folgenden Zeilen:
" Sei [mm] g: \mathbb R^k \to \mathbb R^k [/mm] eine 3 - mal stetig differenzierbare Funktion,
[mm] g \in C^3 ( \mathbb R^k ) [/mm] mit [mm] g( \overline{z} ) = 0 [/mm]
an einem unbekannten Punkt [mm] \overline{z} [/mm].
Man nehme an, es sei eine Näherung [mm] z [/mm] von [mm] \overline{z} [/mm] gegeben. Man möchte nun einen Schritt [mm] \Delta z [/mm] derart bestimmen, dass [mm] z^{+} := z + \Delta z [/mm]
eine bessere Näherung für [mm] \overline{z} [/mm] ist.
Dazu ersetzt man die Funktion g durch ihre Linearisierung im Punkt z.
Die Bestimmung lautet also:
[mm] g(z + \Delta z ) \approx g(z) + Dg(z) \Delta z = 0 [/mm]
woraus sich unter der Annahme der Existenz von [mm] Dg(z)^{-1} [/mm]
die Größen
[mm] \Delta(z) = - Dg(z)^{-1} g(z) [/mm] und [mm] z^{+} = z + \Delta z [/mm]
ergeben.
Dies ist ein Newton - Schritt im [mm] \mathbbR^k [/mm] zur Bestimmung einer Nullstelle von g . "
So und nun zu meiner Frage:
Was ist denn genau dieser Schritt [mm] \Delta z [/mm]
Wenn man die Funktion linearisiert, dann ersetzt man sie ja durch ihre Tangente in Punkt mit ihrem Anstieg ( 1. Ableitung) in dem Punkt...
Ist dieses [mm] \Delta [/mm] vielleicht dieser Anstieg?
Vielen Dank im Voraus!
Viele Grüße
irmchen
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Hallo Irmchen,
> Guten Abend alle zusammen!
>
> Ich habe Fragen zu einer Notation und ihrere Verbindung zum
> Newton - Verfahren.
>
> So, aus eine Buch habe ich die folgenden Zeilen:
>
> " Sei [mm]g: \mathbb R^k \to \mathbb R^k[/mm] eine 3 - mal stetig
> differenzierbare Funktion,
> [mm]g \in C^3 ( \mathbb R^k )[/mm] mit [mm]g( \overline{z} ) = 0[/mm]
> an
> einem unbekannten Punkt [mm]\overline{z} [/mm].
> Man nehme an, es
> sei eine Näherung [mm]z[/mm] von [mm]\overline{z}[/mm] gegeben. Man möchte
> nun einen Schritt [mm]\Delta z[/mm] derart bestimmen, dass [mm]z^{+} := z + \Delta z[/mm]
> eine bessere Näherung für [mm]\overline{z}[/mm] ist.
> Dazu ersetzt man die Funktion g durch ihre Linearisierung
> im Punkt z.
> Die Bestimmung lautet also:
>
> [mm]g(z + \Delta z ) \approx g(z) + Dg(z) \Delta z = 0[/mm]
>
> woraus sich unter der Annahme der Existenz von [mm]Dg(z)^{-1}[/mm]
> die Größen
> [mm]\Delta(z) = - Dg(z)^{-1} g(z)[/mm] und [mm]z^{+} = z + \Delta z[/mm]
> ergeben.
> Dies ist ein Newton - Schritt im [mm]\mathbbR^k[/mm] zur Bestimmung
> einer Nullstelle von g . "
>
> So und nun zu meiner Frage:
> Was ist denn genau dieser Schritt [mm]\Delta z[/mm]
> Wenn man die Funktion linearisiert, dann ersetzt man sie
> ja durch ihre Tangente in Punkt mit ihrem Anstieg ( 1.
> Ableitung) in dem Punkt...
> Ist dieses [mm]\Delta[/mm] vielleicht dieser Anstieg?
Nein.
[mm]\Delta z[/mm] ist die Differenz zwischen neuer und alter Näherung.
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Viele Grüße
> irmchen
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Do 04.12.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
> > Guten Abend alle zusammen!
> >
> > Ich habe Fragen zu einer Notation und ihrere Verbindung zum
> > Newton - Verfahren.
> >
> > So, aus eine Buch habe ich die folgenden Zeilen:
> >
> > " Sei [mm]g: \mathbb R^k \to \mathbb R^k[/mm] eine 3 - mal stetig
> > differenzierbare Funktion,
> > [mm]g \in C^3 ( \mathbb R^k )[/mm] mit [mm]g( \overline{z} ) = 0[/mm]
> >
> an
> > einem unbekannten Punkt [mm]\overline{z} [/mm].
> > Man nehme an,
> es
> > sei eine Näherung [mm]z[/mm] von [mm]\overline{z}[/mm] gegeben. Man möchte
> > nun einen Schritt [mm]\Delta z[/mm] derart bestimmen, dass [mm]z^{+} := z + \Delta z[/mm]
> > eine bessere Näherung für [mm]\overline{z}[/mm] ist.
> > Dazu ersetzt man die Funktion g durch ihre
> Linearisierung
> > im Punkt z.
> > Die Bestimmung lautet also:
> >
> > [mm]g(z + \Delta z ) \approx g(z) + Dg(z) \Delta z = 0[/mm]
> >
> > woraus sich unter der Annahme der Existenz von [mm]Dg(z)^{-1}[/mm]
> > die Größen
> > [mm]\Delta(z) = - Dg(z)^{-1} g(z)[/mm] und [mm]z^{+} = z + \Delta z[/mm]
> > ergeben.
> > Dies ist ein Newton - Schritt im [mm]\mathbbR^k[/mm] zur
> Bestimmung
> > einer Nullstelle von g . "
> >
> > So und nun zu meiner Frage:
> > Was ist denn genau dieser Schritt [mm]\Delta z[/mm]
> > Wenn man die Funktion linearisiert, dann ersetzt man sie
> > ja durch ihre Tangente in Punkt mit ihrem Anstieg ( 1.
> > Ableitung) in dem Punkt...
> > Ist dieses [mm]\Delta[/mm] vielleicht dieser Anstieg?
>
>
> Nein.
>
> [mm]\Delta z[/mm] ist die Differenz zwischen neuer und alter
> Näherung.
Dass das die Differenz ist sieht man hier [mm]z^{+} := z + \Delta z[/mm] richtig?
Nur wie passt dann [mm]\Delta(z) = - Dg(z)^{-1} g(z)[/mm] in diesen Zusammenhang
Vielen Dank im Voraus!
Viele Grüße irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Fr 05.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch eine Zeile vorher stehen :
g(z) + Dg(z) [mm] \Delta [/mm] z = 0
daraus ist [mm] \Delta [/mm] z bestimmt worden.
nimm doch mal kurz statt [mm] R^k [/mm] einfach R, dann ist das Dg einfach g' und du hast die dir bekannte Newtonformel.
Gruss leduart
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