Newton Verfahren < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:24 So 24.06.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Achtung! Lange Aufgabenstellung, kurzer Sinn, noch kürzere Lösung (-hoff ich). Brauche nur Hilfe bei Aufgabenteil c).
Hier die Aufgabe:
Wie es leider häufig geschieht, war ein Student bei seiner Diplomarbeit unter Zeitdruck geraten. Es war die letzte Nacht vor dem Abgabetermin. Der verschüttete Kaffee hatte einige Tasten des Taschenrechners beschädigt. Der Student benötigte für eine letzte Auswertung noch Zahlreiche Kehrwerte 1/a für bestimmte Zahlen a. und zwar mit der Genauigkeit von [mm] 10^{-6}. [/mm] Leider waren die Kehrwert-Taste und die Divisionstaste das Taschenrechners defekt. Die Kehrwerte durch handschriftliche Division zu ermitteln erschien dem Student zu zeitintensiv und zu fehlerträchtig. Da kam ihm eine sehr gute Idee. Vielleicht konnte er mittels Taschenrechner einen Kehrwert 1/a auch durch eine Newton-Iteration ermitteln, die möglicherweise ohne Division auskommt!? Ihm fielen zu der Rechenaufgabe x=1/a auch gleich 3 äquivalente Nullstellengleichungen ein, die er mittels Newton-Verfahren lösen wollte.
[mm] f_{1(x)}=x-1/a=0
[/mm]
[mm] f_{2(x)}=ax-1
[/mm]
[mm] f_{3(x)}=1/x-a
[/mm]
Er stellte fest, daß die ersten beiden Gleichungen eigentlich lineare Gleichungen sind, die in einem einzigen Newton Schritt zur Lösung führen. Doch leider sind dabei wieder Divisionen erforderlich.
Nun Ihre Aufgaben:
a) Zeigen Sie, daß die dritte Nullstellengleichung zu einer Newton-Iteration führt, die ohne Division auskommt.
b)Führen sie exemplarisch für a=0,81 die divisionsreie Newton-Iteration zur Berechnung von 1/a durch. Startwert [mm] x_{0}=1, [/mm] Genauigkeit [mm] 10^{-6}
[/mm]
c) Zusatzfrage
Gehen sie davon aus, daß der Taschenrechner des Studenten auch wissenschaftliche Funktionen wie [mm] x^{y}, [/mm] sin(x), [mm] e^{x}, [/mm] cos(x), ln(x), tan(x), usw. bereitstellt. Leider ist auch die Taste für die Potenzierung [mm] x^{y} [/mm] defekt. Bieten die wissenschaftlichen Funktionen dennoch eine relativ einfache Möglichkeit zur Berechnung eines Kehrwert 1/a???
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Hallo,
puh, meine Hände bluten schon! Es geht mir hier nur um den letzten Aufgabenteil c). Der ersten beiden Teile sind klar. Hier die Ergebnisse, falls es jemanden interessiert oder weiterhilft:
a) [mm] x_{n+1}=x_{n}(2-ax_{n})
[/mm]
b) 1,234568
So, bei c) weiß ich absolut nicht wo ich anfangen soll. Bin sehr dankbar für Hilfe. Danke!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 So 24.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Achtung! Lange Aufgabenstellung, kurzer Sinn, noch kürzere
> Lösung (-hoff ich). Brauche nur Hilfe bei Aufgabenteil c).
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> Hier die Aufgabe:
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> [...]
>
> c) Zusatzfrage
> Gehen sie davon aus, daß der Taschenrechner des Studenten
> auch wissenschaftliche Funktionen wie [mm]x^{y},[/mm] sin(x), [mm]e^{x},[/mm]
> cos(x), ln(x), tan(x), usw. bereitstellt. Leider ist auch
> die Taste für die Potenzierung [mm]x^{y}[/mm] defekt. Bieten die
> wissenschaftlichen Funktionen dennoch eine relativ einfache
> Möglichkeit zur Berechnung eines Kehrwert 1/a???
Ja, die gibt es. Es ist ja [mm] $x^y [/mm] = [mm] \exp(\ln(x^y))$. [/mm] Benutze jetzt eine einfache Rechenregel fuer den Logarithmus. Dann siehst du, wie du [mm] $x^y$ [/mm] mit Hilfe von [mm] $\exp$, $\ln$ [/mm] und einfacher Multiplikation ausrechenn kannst. Und wenn du jetzt fuer $y$ den Wert $-1$ einsetzt...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 So 24.06.2007 | | Autor: | polyurie |
Vielen Dank! :)
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