Newtonsche Verfahren (HILFE!) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Fr 29.04.2005 | | Autor: | adi2866 |
hi,
Ich hab ein großes Problem. Mein schwächstes Fach ist Mathe und um nicht unter 5 Punkte zu kommen habe ich mich bereiterlärt ein Referat über das Newtonsche Verfahren zur NUllstellenberechnung zu halten und der Klasse dieses Verfahren anhand unseres Beispieles zu erklären.
Ich habe da eine Quelle aus unsererm Buch aber ehrlichgesagt ich verstehe das alles nicht wirklich und weiß auch nicht viel damit anzufangen.
Ich muss halt wirklich zugeben, dass die Mathematik nicht mein Lieblingsfach ist aber von diesem Referat hängt viel ab und unser Lehrer ist sehr Anspruchsvoll und stellt mir danach viele Fragen dazu.
Die Gleichung lautet
f''(x)=20x³-18x-4=0
das ist die zweite Ableitung der Funktion [mm] f(x)=x^5-3x³-2x²
[/mm]
Kann mir jemand eine gute Seite empfehlen auf der dieses Verfahren für "Dumme" verdeutlicht ist oder würde mir sogar jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich habe einfach den Zusammenhang xn-xn+1=f(xn)/xn-xn+1 und meiner Aufgabe nicht verstanden....Näheres steht im Buch "Anlysis 1" auf Seite 195
Schonmal im Vorraus ein großes Dankeschön, ich hoffe ich nerve euch nicht mit solchen fragen
ciao
adi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 So 01.05.2005 | | Autor: | adi2866 |
nein, um Gottes Willen ich möchte hier doch keine Lösungen vorgeworfen bekommen, immerhin muss ich doch verstehen was ich den Leuten erzähle....
Mein problem ist halt, dass ich nicht wirklich mit Mathe zurechtkomme....man könnte sagen ich habe keine Orientierung in diesem Fach.
In meinem Buch ist z.B die Formel xn+1=xn-f(xn)/f'(xn) angegeben.
Mein Term lautet 20x³-18x-4
Ich weiß nicht genau was ich da wohin setzen muss....was mein Xn ist und ob f'(xn) 60x²-18 ist...
würde nach der Formel meine Gleichung so aussehen?
xn+1=xn-20xn³-18xn-4/60xn²-18 ?
Wie muss ich weiter rechnen?
danke im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 So 01.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Adi
> nein, um Gottes Willen ich möchte hier doch keine Lösungen
> vorgeworfen bekommen, immerhin muss ich doch verstehen was
> ich den Leuten erzähle....
> Mein problem ist halt, dass ich nicht wirklich mit Mathe
> zurechtkomme....man könnte sagen ich habe keine
> Orientierung in diesem Fach.
> In meinem Buch ist z.B die Formel xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)
> angegeben.
Gut, etwas schöner geschrieben:
[mm] $x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}$
[/mm]
Das ist einfach die Definition einer Folge. Es wird als bekannt vorausgesetzt, dass du [mm] $x_n$ [/mm] kennst, dann lässt sich daraus das nächste Folgenglied berechnen.
Das erste Folgenglied [mm] $x_1$ [/mm] musst du irgendwie bestimmen. Da ja eine Nullstelle der Funktion gesucht ist, empfiehlt es sich, ein [mm] $x_1$ [/mm] zu wählen, das in der Nähe der zu bestimmenden Nullstelle ist.
> Mein Term lautet 20x³-18x-4
Ja, das ist dein f(x).
> Ich weiß nicht genau was ich da wohin setzen muss....was
> mein Xn ist und ob f'(xn) 60x²-18 ist...
>
> würde nach der Formel meine Gleichung so aussehen?
>
> xn+1=xn-20xn³-18xn-4/60xn²-18 ?
Ganz genau, das ist es!
Etwas schöner geschrieben:
[mm] $x_{n+1}=x_n-\bruch{20x_n^3-18x_n-4}{60x_n^2-18}$
[/mm]
Das darfst du natürlich auch auf einen Bruch nehmen:
[mm] $x_n-\bruch{20x_n^3-18x_n-4}{60x_n^2-18}=\bruch{60x_n^3-18x_n-20x_n^3+18x_n+4}{60x_n^2-18}=\bruch{40x_n^3+4}{60x_n^2-18}$
[/mm]
Also: [mm] $x_{n+1}=\bruch{20x_n^3+2}{3x_n^2-9}$
[/mm]
Deine Funktion hat 3 Nullstellen. Wenn du den Grafen deiner Funktion mal aufzeichnest, erkensnt du, dass eine Nullstelle bei etwa -0,7 liegt, eine andere bei -0.3 und die dritte noch bei etwa +1.
Das sind also geeignete Startwerte, um die Nullstelle zu berechnen.
Setze als [mm] $x_1=1$
[/mm]
Dann ergibt sich nach unserer Formel:
[mm] $x_2=\bruch{20*1^3+2}{30*1^2-9}=\bruch{22}{21}$
[/mm]
[mm] $x_2$ [/mm] liegt bereits näher an der gesuchten Nullstelle.
[mm] $x_3$ [/mm] berechnet sich dann so:
[mm] $x_3=\bruch{20*(\bruch{22}{21})^3+2}{30*(\bruch{22}{21})^2-9}=\bruch{231482}{221571}$
[/mm]
[mm] $x_3$ [/mm] ist bereits noch näher an der effektiven Nullstelle.
Die Folge wird natürlich in der Regel mittels Computer berechnet. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 So 01.05.2005 | | Autor: | adi2866 |
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> Das darfst du natürlich auch auf einen Bruch nehmen:
>
> [mm]x_n-\bruch{20x_n^3-18x_n-4}{60x_n^2-18}=\bruch{60x_n^3-18x_n-20x_n^3+18x_n+4}{60x_n^2-18}=\bruch{40x_n^3+4}{60x_n^2-18}[/mm]
>
> Also: [mm]x_{n+1}=\bruch{20x_n^3+2}{3x_n^2-9}[/mm]
>
> Deine Funktion hat 3 Nullstellen. Wenn du den Grafen deiner
> Funktion mal aufzeichnest, erkensnt du, dass eine
> Nullstelle bei etwa -0,7 liegt, eine andere bei -0.3 und
> die dritte noch bei etwa +1.
>
> Das sind also geeignete Startwerte, um die Nullstelle zu
> berechnen.
>
> Setze als [mm]x_1=1[/mm]
>
> Dann ergibt sich nach unserer Formel:
> [mm]x_2=\bruch{20*1^3+2}{30*1^2-9}=\bruch{22}{21}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] liegt bereits näher an der gesuchten Nullstelle.
>
> [mm]x_3[/mm] berechnet sich dann so:
>
> [mm]x_3=\bruch{20*(\bruch{22}{21})^3+2}{30*(\bruch{22}{21})^2-9}=\bruch{231482}{221571}[/mm]
>
> [mm]x_3[/mm] ist bereits noch näher an der effektiven Nullstelle.
>
Ab da komm ich nicht ganz mit.....hab deine vereinfachung nicht verstanden und vorallem wie zeichnest du den Graphen wenn du die Nullstellen nicht gegeben hast?
Danke für deine Antwort!
gruß
adi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 So 01.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Adi
>
> Ab da komm ich nicht ganz mit.....hab deine vereinfachung
> nicht verstanden und vorallem wie zeichnest du den Graphen
> wenn du die Nullstellen nicht gegeben hast?
>
Wo kommst du nicht mehr mit? Beim letzten Gleichheitszeichen? Das ist doch einfachstes Bruchrechnen, das habe ich mit Hilfe eines Taschenrechners gemacht. Das hast du aber bestimmt schon in der 6. Klasse gelernt!
In der Regel bestimme ich die Stellen, wo Extrempunkte auftreten (erste Ableitung null setzen). Dort berechne ich die Funktionwerte und gebe die Richtung mit einem waagrechten Strichlein an. Dann einfach noch einige weitere Stellen, um die Punkte mit einer schön geschwungenen Linie zu verbinden. Das solltest du unbedingt üben! Schmeiss deinen grafikfähigen Rechner weg und mach das von Hand, damit du sowohl Bruchrechnen als auch Funktionsgrafen zeichnen lernst! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 So 01.05.2005 | | Autor: | adi2866 |
sorry, hat sich erledigt! hab mich übelst verlesen *peinlich*
danke wegen deiner Antwort, die hilft mir jetzt weiter.....
werd mich melden, falls ich auf ein weiteres Problem stoßen sollte!
gruß
adi
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Newton-Verfahren