Newtonsches Gesetz d Abkühlung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Mo 19.04.2010 | | Autor: | haploid |
| Aufgabe | Eine Kupferkugel wird auf eine Temperatur [mm] T_0 [/mm] erhitzt und zur Zeit [mm] t\,=\,0 [/mm] in Wasser getaucht, welches auf eine Temperatur von 92°C gehalten wird. Nach dem Newtonschen Gesetz der Abkühlung ist die Änderungsrate der Temperatur proportional zum Temperaturunterschied zwischen Kupferkugel und Wasser. Dabei wird angenommen, dass sich die Temperaturunterschiede innerhalb der Kupferkugel unverzüglich ausgleichen, d.h. innerhalb der Kupferkugel ist die Temperatur T(t) überall gleich. Diese Temperatur T(t) der Kupferkugel zur Zeit t genügt also der Differentialgleichung [mm] T'(t)\,=\,k(T(t)-92).
[/mm]
a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
b) Die Kupferkugel habe vor dem Eintauchen in das Wasser eine Temperatur von [mm] T_0\,=\,100°C. [/mm] Bestimmen Sie die spezielle Lösung der Differentialgleichung.
c) Nach einer Minute, d.h. t=1, ist ihre Temperatur auf 96°C gesunken. Bestimmen Sie die Proportionalitätskonstane k.
[mm] k\,=\,-\log(????)
[/mm]
d) Wie hoch ist die Temperatur nach 2 Minuten?
T(2)=____ °C
e) Nach wieviel Minuten hat sich die Kupferkugel auf 93°C abgekühlt?
Nach ____ Minuten. |
Hallo,
ich habe leider nicht einmal eine Idee, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Vielen Dank für Lösungsansaätze.
Grüße, haploid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mo 19.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
die DGL lautet
[mm] \dot{T(t)}=k*(T(t)-92)
[/mm]
DGLen dieser Art löst man, indem man die homogene DGL und die inhomogene DGL löst.
Die homogene DGL lautet
[mm] \dot{T(t)}=k*T(t) [/mm] und die allgemeine homogene Lösung lautet
[mm] T(t)_H=A*e^{k*t}
[/mm]
Eine inhomogene Lösung erhält man aus [mm] T(t)_I=92
[/mm]
Teil a)
Die allgemeine Lösung erhält man aus der Summe von [mm] T(t)=T(t)_H+T(t)_I
[/mm]
Also [mm] T(t)=A*e^{k*t}+92
[/mm]
Teil b)
Wenn [mm] T(0)=T_0=100 [/mm] gilt folgt
T(0)=A+92=100 also A=8, somit gilt
[mm] T(t)=8*e^{k*t}+92
[/mm]
Teil c)
Aus T(1)=96 folgt
[mm] T(1)=8*e^k+92=96 [/mm] also
[mm] e^k=\bruch{1}{2} [/mm] daraus folgt k=-ln(2)
Teil d)
T(2) muss man entsprechend ausrechnen.
Teil e)
T(t)=93 bedeutet
[mm] 8*e^{-ln(2)*t}+92=93 [/mm] also t=3. Das kann man auch prüfen durch
[mm] 8*e^{-ln(2)*3}+92=93
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mo 19.04.2010 | | Autor: | haploid |
Vielen, vielen Dank für die ausführliche Antwort. Schön, dass ich jetzt auch mal das Prinzip verstanden hab und nicht immer nur mit Maple die Aufgaben löse ;).
Schönen Abend noch!
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