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Hallo!
Ich habe Probleme mit der Starwertfindung beim Newtonverfahren ohne einen taschenrechner(bei dem ich anhand der Graphik den Startwert schätzen könnte).
Speziell diese Funktion macht mir zu schaffen:
[mm] f(x)=x^3-3x^2+8
[/mm]
Ich habe folgendes versucht um einen x-wert herauszufinden:
[mm] x^3-3x^2+8=0 [/mm] |-8
[mm] x^3-3x^2 [/mm] =-8
[mm] x(x^2-3x) [/mm] =-8 [mm] \Rightarrow [/mm] x1=-8
x(x-3) =-8 [mm] \Rightarrow [/mm] x2=-8
x-3 =-8 |+3
x =-5
Jetzt habe ich versucht, mit dem Startwert x=-5 ´der Newtonverfahrenformel nach zu rechnen:
x(n+1)= x(n)- (h(n)/h|(n)) (--> allgemein)
x(n+1)= -5- [mm] (((-5)^3-3*(-5)^2+8)/(3*(-5)^2-6*(-5)))
[/mm]
= -5.9333333333
Die eigentliche Nullstelle liegt jedoch bei: x= -1.355301 !
Wie kann ich bei dieser Funktion einen brauchbaren Startwert fürs Newtonverfahren herausfinden ohne die Graphik eines Taschenrechners zu benutzen?
Ich komme hier einfach nicht weiter und bin sehr dankbar für einen Lösungsansatz.
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Hi, Hilfesuchender,
> Hallo!
> Ich habe Probleme mit der Starwertfindung beim
> Newtonverfahren ohne einen taschenrechner(bei dem ich
> anhand der Graphik den Startwert schätzen könnte).
> Speziell diese Funktion macht mir zu schaffen:
> [mm]f(x)=x^3-3x^2+8[/mm]
> Ich habe folgendes versucht um einen x-wert
> herauszufinden:
> [mm]x^3-3x^2+8=0[/mm] |-8
> [mm]x^3-3x^2[/mm] =-8
> [mm]x(x^2-3x)[/mm] =-8 [mm]\Rightarrow[/mm] x1=-8
Sowas schön Falsches sieht man selten! (Zum Glück!)
Setz' mal x=-8 ein: [mm] -8*((-8)^{2} [/mm] - 3*(-8)) = -8*(64+24) = -704
Ziemlich weit weg von -8, stimmt's?
Die Regel: a*b = 0 => a=0 oder b=0 gilt NUR, wenn rechts 0 steht.
Für jede andere Zahl (hier: -8) geht sie schief (manchmal - so wie hier - sogar ganz gewaltig!)
Also: Wie geht man wirklich vor?
Man setzt in den Ausgangsterm ganze Zahlen ein und zwar möglichst nicht allzu große:
x=1: 1 - 3 + 8 = 6 (>0)
x=2: 8 - 12 + 8 = 4 (>0)
x=-1: -1 - 3 + 8 = 4 (>0)
x =-2: -8 - 12 + 8 = -12 (<0)
Da also die Vorzeichen der Ergebnisse bei x=-1 und bei x=-2 unterschiedlich sind, muss logischerweise zwischen beiden Werten (mindestens) eine Nullstelle liegen.
Als Startwert für das Newton-Verfahren empfiehlt sich die Mitte,
also: x=-1,5.
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Hallo Zwerglein! Danke für deine Antwort, du hast mir wirklich weitergeholfen!
Ich habe die Aufgabe zu Ende gerechnet und mit dem GTR überprüft, ist alles richtig rausgekommen:
Startwert x1:1,5
x2: -1,5-(f(-1,5)/f|(-1,5))
[mm] =(-1,5)-(((-1,5)^3-3*(-1,5)^2+8)/(3*(-1,5)^2-6*(-1,5))
[/mm]
=-1,365079365
x3: ...= -1,355350555
x4:...= -1,355301399
x5: ...=-1,355301398
[mm] \Rightarrow [/mm] Die 6 Nachkommastellen ändern sich nicht mehr, also ist die die gesuchte Nullstelle.
Danke nochmal!!!
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