Nicht-lineare DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finde eine (allgemeine) Lösung für
u'' = u' + u - [mm] u^2 [/mm] + C |
Hallo zusammen,
ich bin neu hier aber habe schon gesehen dass bereits zu vielen Problemen tolle Lösungen gefunden wurden - von daher hoffe ich, dass ihr auch mir ein wenig weiterhelfen könnt.
Ich suche eine Lösung für diese nicht-lineare DGL 2. Ordnung.
Ich hatte ein ähnliches Problem 1. Ordnung schon über den Ansatz für Ricatti-DGLs gelöst (s. z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung).
Jetzt habe ich aber das Problem, dass ich im Falle der Gleichung 2. Ordnung keinen vernünftigen Ansatz finde, denn eine Reduktion auf ein System 1. Ordnungen habe ich auch nicht geschafft.
Wäre super wenn da einer von euch einen Tip hätte!
Schonmal vielen Dank und viele Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo summerhill,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Finde eine (allgemeine) Lösung für
> u'' = u' + u - [mm]u^2[/mm] + C
> Hallo zusammen,
>
> ich bin neu hier aber habe schon gesehen dass bereits zu
> vielen Problemen tolle Lösungen gefunden wurden - von daher
> hoffe ich, dass ihr auch mir ein wenig weiterhelfen könnt.
>
> Ich suche eine Lösung für diese nicht-lineare DGL 2.
> Ordnung.
> Ich hatte ein ähnliches Problem 1. Ordnung schon über den
> Ansatz für Ricatti-DGLs gelöst (s. z.B.
> http://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung).
> Jetzt habe ich aber das Problem, dass ich im Falle der
> Gleichung 2. Ordnung keinen vernünftigen Ansatz finde, denn
> eine Reduktion auf ein System 1. Ordnungen habe ich auch
> nicht geschafft.
>
> Wäre super wenn da einer von euch einen Tip hätte!
Eine Lösung gibt es z.B. wenn [mm]u'=u''=0[/mm] gesetzt wird.
> Schonmal vielen Dank und viele Grüße!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
danke für die Antwort - allerdings verstehe ich den Hinweis noch nicht so ganz.
Wenn ich u' = u'' = 0 setze, dann habe ich doch keine DGL mehr sonder eine "normale" Gleichung...wobei dann u ja auch eine konstante Funktion sein müsste...
Hattest Du das im Sinn oder habe ich Dich da einfach nur falsch verstanden?
Vielen Dank!
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> Wenn ich u' = u'' = 0 setze, dann habe ich doch keine DGL
> mehr sonder eine "normale" Gleichung...wobei dann u ja auch
> eine konstante Funktion sein müsste...
hallo summerhill,
zunächst mal nur zu den sehr speziellen konstanten
Lösungen mit u'=u''=0: mit "allgemeiner Lösung"
waren bestimmt nicht diese gemeint !
Einen Ansatz zur Lösung dieser DGL habe ich im
"Heuser" auf Seite 520 gefunden. Du findest diese
Stelle auch, wenn du "Riccatischer Ansatz" googelst
und den allerersten Eintrag anklickst.
LG Al-Chw.
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Hallo nochmals,
vielen Dank für den Tip mit dem Ricattischen Ansatz im Heuser - das scheint wirklich die richtige Vorgehensweise bei dieser Art von Problemen zu sein.
Leider hänge ich da aber trotzdem wieder fest - sorry, aber ich bin im Bereich von DGLs leider nicht wirklich bewandert...
Also, gemäß dem Ansatz habe ich
p(u) := u'(x)
f(u,p) = p + u - [mm] u^2 [/mm] + c
Somit gilt dann
[mm] \bruch{dp}{du} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{p} [/mm] (u - [mm] u^2 [/mm] + c)
[mm] \gdw [/mm] dp*p = p*du + (u - [mm] u^2 [/mm] + c)*du
Laut dem Ricattischen Ansatz muss ich nun integrieren um danach
[mm] \bruch{dp}{du} [/mm] = p(u)
zu lösen.
Aber mit der Integration tue ich mir hier noch ein wenig schwer da ich die Variablen einfach nicht vernünftig separiert bekomme - habt ihr da eine Idee?
Vielen Dank!
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Hallo summerhill,
Die Reduktion durch den Riccatischen Ansatz zu einer
DGL erster Ordnung gelingt zwar, aber die so entstandene
neue DGL
[mm] p'(u)*p(u)=p(u)+u-u^2+C
[/mm]
ist nach wie vor ein harter Brocken, welcher auch von
Mathematica unverdaut wieder ausgespien wird.
Möglicherweise ist sie also überhaupt nicht formal
integrierbar.
Bisher haben wir also nur die konstanten Lösungen
gefunden. Es könnte allenfalls sein, dass man noch
mit einem anderen speziellen Ansatz (z.B. rationale
Funktion) gewisse Lösungen aufstöbern kann.
Ach ja, so nebenbei: Der Mathematiker hiess tatsäch-
lich Riccati (mit langem a und schwachem t) und nicht
Ricatti (mit kurzem a und scharfem t):
Jacopo Francesco Riccati 1676-1754
zur Aussprache des Namens habe ich diese
fou 'nay tee she 'dahr shtal loong 'fÿÿr
uh marry 'kuh ner gefunden:
'yah koh poh frahn 'chays koh ree 'kah tee
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Di 10.02.2009 | | Autor: | summerhill |
Hallo Al-Chwarizmi
danke für die Mühe das auch mal bei Mathematica einzugeben, scheint ja wirklich ne harte Nuss zu sein, aber dann muss ich mir halt was anderes überlegen (numerisch lösen, Gleichungs-Ansatz verändern...).
Dem Herrn Riccati wollte ich übrigens kein Unrecht tun 
VG
s.
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