Nicht ganzzahlige Faktoren < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Mo 13.02.2006 | | Autor: | lu79 |
| Aufgabe | Hallo zusammen, ich schreibe gerade meine Diplomarbeit, welche sich mit dem Thema Zeitwirtschaft und Ergonomie befasst. In der Praxis werden Arbeitsabläufe mit Hilfe von Prozessbausteinen beschrieben. So ein Baustein kann z.B. "Schraube eindrehen" sein. Müssen jedoch 3 Schrauben (Anzahl) in jedem Takt (Häufigkeit) angebracht werden, so wird der Baustein mit dem Faktor 3 * 1 versehen.
Prozessbausteine können aber auch nicht ganzzahlige Faktoren besitzen. So sagt der Faktor 6/5 bzw. 6 * 1/5 aus, dass der Werker 6 Schrauben in 5 Takten anbringen muss. Damit ist jedoch noch nicht ausgesagt, wie der Baustein auf die 5 Takte verteilt ist. Der Werker kann z.B. den Baustein 6-mal in Takt 5 ausführen oder jeweils 3-mal in Takt 1 und 2 oder... |
Wieviele Möglichkeiten gibt es bei einem Faktor 6/5?
Allgemein kann der Faktor (k) so beschrieben werden,
k = n * 1/x
wobei "n" für die Anzahl der Ausführungen und "x" für die Anzahl der Takte steht. Kann jemand von euch hierfür ne allgemeingültige Formel finden, wie man die Anzahl der Möglichkeiten berechnet?
Letztlich ist dieses oben beschriebene Problem ja nichts anderes, als 6 Äpfel auf 5 Körbe zu verteilen..
Wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Vielen Dank!!
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Hallo lu79,
bei Problemen dieser Art kannst du so vorgehen. Im Beispiel 6/5 sollst du sechs Arbeitsschritte auf fünf Arbeitstakte verteilen. Du kannst die verschiedenen Möglichkeiten aufschreiben, indem du zur Kennzeichnung der Takte Kommata einfügst, z.B.
T,,TT,T,TT
Damit kann man ausdrücken, dass
im ersten Takt ein Schritt,
im zweiten Takt kein Schritt,
im dritten Takt zwei Schritte,
im vierten Takt ein Schritt und
im fünften Takt zwei Schritte ausgeführt wurden.
Das sind sechs Schritte in fünf Takten.
Man braucht zur Trennung der fünf Takte vier Kommata, so dass jede Zeichenkette aus 6+4=10 Zeichen besteht. Offensichtlich stellt jede Zeichenkette eine bestimmte Möglichkeit dar, wie man die Arbeit auf die Takte verteilen kann.
Die Zahl, nach der du suchst ist demnach die Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man sechs Ts und vier Kommata hintereinander schreiben kann.
Für zehn verschiedene Zeichen erhielte man 10!=3628800 Möglichkeiten. Man kann jedoch die Ts und die Kommata nicht voneinander unterscheiden, so dass man noch durch 6! und 4! teilen muss. Es sind also insgesamt [mm] $\pmat{10\\6}=210$ [/mm] Möglichkeiten.
Allgemein bedeutet das für einen m/n Arbeitsschritt, dass die Anzahl der Möglichkeiten... kommst du auf eine allgemeine Formel?
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mo 13.02.2006 | | Autor: | lu79 |
Danke erstmal für deine Hilfe. Handelt sich dann also um Kombinationen C(x;n) mit Wiederholung, wobei x für die Anzahl der Takte und n für die Anzahl der auf die Takte zu verteilenden Bausteine steht. Es handelt sich um gleiche Bausteine, aber verschiedene Takte. Wiederholung deshalb, weil in einem Takt mehrere gleichartige Bausteine vorkommen können, ja? Damit dürfte die allgemeine Formel lauten:
[mm] \vektor{x+n-1 \\ n}
[/mm]
Stimmt das?
Noch eine Frage: Worin unterscheiden sich Permutationen und Variationen von Kombinationen? Kann man dies eventl. für mein Beispiel erklären.
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Hallo lu79,
deine Formel ist richtig.
Die Frage zu den Kombinationen, Variationen und Permutationen kann ich dir nicht aus dem Stand beantworten. Vielleicht suchst du mal im Netz nach diesen drei Begriffen.
Der Artikel über ![[]](/images/popup.gif) Kombinatorik bei Wikipedia dürfte auch ein bisschen Licht ins Dunkel bringen.
Hugo
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