Nicht lineare PDGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mo 17.12.2012 | | Autor: | L0re |
| Aufgabe | Es sei folgende Gleichung in [mm] $R^2$ [/mm] gegeben
[mm] \operatorname{exp}(\partial^3_t u) + \sin (x)\partial^2_t u - 2\cos (\partial_x u) \partial_t u + 3tu \partial^2_t u = 0 [/mm], mit Anfangsbedingungen [mm] u(x,0) = u_0(x), \partial_t u(x,0) = u_1(x), \partial^2_t u(x,0) = u_2(x) [/mm].
a) Zeige, dass die Ebene $t = 0$ für die Gleichung nicht charakteristisch ist.
b) Zeige wie man diese Gleichung auf ein quasi-lineares System erster Ordnung, mit Koeffizienten unabhängig von $t$, reduzieren kann. |
Hallo,
ich sitze gerade an dieser (für mich) besonders schwierigen Übungsaufgabe. Es ist die erste wirklich nicht lineare (also auch nicht quasilineare oder semilineare) PDGl, mit der ich arbeite und daher kommt vermutlich meine Unsicherheit.
Da ich mich bisher auf Aufgabenteil a) konzentriert habe, würde ich zu b) erstmal lieber nichts sagen. Grundsätzlich ist mein Ansatz die Gleichung erst zu linearisieren um dann hoffentlich eine Definition aus meinem Skript anwenden zu können:
Die Fläche, die durch [mm] $\phi(x_1,...,x_n) [/mm] = 0$ gegeben ist, ist charakteristisch am Punkt [mm] $\hat [/mm] x$, wenn [mm] $\phi(\hat [/mm] x) = 0$ und
[mm]a_{ij}\frac{\partial \phi}{\partial x_i}(\hat x) \frac{\partial \phi}{\partial x_j}(\hat x) = 0[/mm].
Mein bester Versuch beim linearisieren war mit
$u(x,t) = t/2 + [mm] \epsilon [/mm] w(x,t)$, wobei $t/2$ eine geratene Lösung der PDGL ist. Anscheinend wird normalerweile eine konstante Lösung verwendet, in diesem Fall nur leider nicht möglich.
Meine linearisierte Gleichung lautet dann:
[mm] \frac{3}{2}t^2\partial^2_x w(x,t) + sin(x)\partial^2_t w(x,t) - \partial_x w(x,t) - 2\partial_t w(x,t) + 1 = 0[/mm]
Wende ich nun die Definition an, ergibt sich
[mm] \frac{3}{2}t^2\frac{\partial t}{\partial x}\frac{\partial t}{\partial x}+ sin(x)\frac{\partial t}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial t} = sin(x) [/mm]
Da ich hier einen Term erwarten würde der stets ungleich null ist, zweifle ich sehr an dem Ergebnis.
An dieser Stelle hänge ich nun leider, ein anderer Ansatz ist mir bisher nicht eingefallen und das obige Resultat stellt mich kaum zufrieden.
Ich würde mich über jegliche Hilfe/Gedankenanstöße sehr freuen!
Mfg
Lore
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo L0re,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es sei folgende Gleichung in [mm]R^2[/mm] gegeben
> [mm]\operatorname{exp}(\partial^3_t u) + \sin (x)\partial^2_t u - 2\cos (\partial_x u) \partial_t u + 3tu \partial^2_t u = 0 [/mm],
[mm]\partial^{3}_{t}u[/mm] kann doch bedeuten:
[mm]\partial^{3}_{t}u=\left(\bruch{\partial u}{\partial t\right)^{3}[/mm]
oder
[mm]\partial^{3}_{t}u=\bruch{\partial^{3} u}{\partial t^{3}[/mm]
> mit Anfangsbedingungen [mm]u(x,0) = u_0(x), \partial_t u(x,0) = u_1(x), \partial^2_t u(x,0) = u_2(x) [/mm].
>
> a) Zeige, dass die Ebene [mm]t = 0[/mm] für die Gleichung nicht
> charakteristisch ist.
> b) Zeige wie man diese Gleichung auf ein quasi-lineares
> System erster Ordnung, mit Koeffizienten unabhängig von [mm]t[/mm],
> reduzieren kann.
> Hallo,
> ich sitze gerade an dieser (für mich) besonders
> schwierigen Übungsaufgabe. Es ist die erste wirklich nicht
> lineare (also auch nicht quasilineare oder semilineare)
> PDGl, mit der ich arbeite und daher kommt vermutlich meine
> Unsicherheit.
>
> Da ich mich bisher auf Aufgabenteil a) konzentriert habe,
> würde ich zu b) erstmal lieber nichts sagen.
> Grundsätzlich ist mein Ansatz die Gleichung erst zu
> linearisieren um dann hoffentlich eine Definition aus
> meinem Skript anwenden zu können:
> Die Fläche, die durch [mm]\phi(x_1,...,x_n) = 0[/mm] gegeben ist,
> ist charakteristisch am Punkt [mm]\hat x[/mm], wenn [mm]\phi(\hat x) = 0[/mm]
> und
> [mm]a_{ij}\frac{\partial \phi}{\partial x_i}(\hat x) \frac{\partial \phi}{\partial x_j}(\hat x) = 0[/mm].
>
> Mein bester Versuch beim linearisieren war mit
> [mm]u(x,t) = t/2 + \epsilon w(x,t)[/mm], wobei [mm]t/2[/mm] eine geratene
> Lösung der PDGL ist. Anscheinend wird normalerweile eine
> konstante Lösung verwendet, in diesem Fall nur leider
> nicht möglich.
> Meine linearisierte Gleichung lautet dann:
> [mm]\frac{3}{2}t^2\partial^2_x w(x,t) + sin(x)\partial^2_t w(x,t) - \partial_x w(x,t) - 2\partial_t w(x,t) + 1 = 0[/mm]
>
> Wende ich nun die Definition an, ergibt sich
> [mm]\frac{3}{2}t^2\frac{\partial t}{\partial x}\frac{\partial t}{\partial x}+ sin(x)\frac{\partial t}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial t} = sin(x)[/mm]
>
> Da ich hier einen Term erwarten würde der stets ungleich
> null ist, zweifle ich sehr an dem Ergebnis.
>
> An dieser Stelle hänge ich nun leider, ein anderer Ansatz
> ist mir bisher nicht eingefallen und das obige Resultat
> stellt mich kaum zufrieden.
> Ich würde mich über jegliche Hilfe/Gedankenanstöße
> sehr freuen!
>
Verwende zum linearisieren bekannte Taylorreihen.
> Mfg
> Lore
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:33 Sa 22.12.2012 | | Autor: | L0re |
Vielen Dank für deine Hilfe MathePower =)
|
|
|
|
