Nicht triviale konstruktion < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Sa 21.11.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Es seien zwei Kreise K1,K2 gegeben, die sich in den verschiedenen
Punkten S und T schneiden. Ferner sei [mm] r_1 [/mm] > [mm] r_2. [/mm] Konstruieren Sie eine
Gerade g mit S [mm] \in [/mm] g und T liege nicht auf g, aus der beide Kreise
gleichlange Strecken ausschneiden. |
Hey, ich hab jetzt schon ne weile rumprobiert um bei der aufgabe irgendeine regelmäßigkeit zu finden und daraus ne regel machen zu können. aber bis jetzt war das alles vollkommen erfolglos. wenn t auf g liegen dürfte wäre das ja trivial. aber so?!
ich weiß, dass ich weder eine gerade durch s und [mm] m_2 [/mm] (mittelpunkt das kleinen kreises) zeichnen kann noch einfach mit dem zirkel um s zwei mal die gleichen längen abtragen kann um mit sicherheit zwei punkte zu bekommen die die bedingung erfüllen.
sicher scheint mir, dass die "ausgeschnittenen" längen kaum kleiner sein können als der radius des kleinen kreises. aber rechnen darf ich ja bei konstuktionen auch nix.
hat evt. jemand ne idee oder so eine aufgabe schonmal gesehen?
mfg die Maxi
|
|
| |
|
Hallo Maxi,
schicke Aufgabe. Die Gerade ist eindeutig bestimmt. Man kann sie wie folgt konstruieren (eine Abkürzung folgt später):
Du hast beide Kreise gezeichnet. Nehmen wir oBdA an, dass die Mittelpunkte senkrecht übereinander liegen, [mm] M_1 [/mm] oben und [mm] M_2 [/mm] unten. Dabei ist [mm] K_1 [/mm] der größere, [mm] K_2 [/mm] der kleinere Kreis und [mm] r_1, r_2 [/mm] ihre Radien. [mm] \overline{s} [/mm] sei die Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten S und T, wobei S links von T liegt.
Ich weiß, Zeichnen wäre besser, aber ich habe hier kein Zeichenprogramm außer MS-Paint. Und das ist echt nicht zumutbar, sorry. Hoffentlich verstehst Du die Beschreibung trotzdem.
Zeichne nun die Strecke zwischen den beiden Mittelpunkten (genannt [mm]\overline{m}[/mm]) und die beiden Strecken von den Mittelpunkten zu S (die nennen wir jetzt mal [mm] \overline{r_1} [/mm] und [mm]\overline{r_2}[/mm]). [mm] \overline{m} [/mm] schneidet [mm] K_1 [/mm] im Punkt [mm] P_1 [/mm] und [mm] K_2 [/mm] im Punkt [mm] P_2.
[/mm]
Spiegele nun [mm] P_1 [/mm] an [mm] \overline{r_1} [/mm] und [mm] P_2 [/mm] an [mm] \overline{r_2}. [/mm] Du erhältst die Punkte [mm] P_1' [/mm] und [mm] P_2'. [/mm] Trage nun auf beiden Kreisen den Abstand [mm] |\overline{SP_1}|=|\overline{SP_1'}| [/mm] bzw. [mm] |\overline{SP_2}|=|\overline{SP_2'}| [/mm] ein weiteres Mal von [mm] P_1' [/mm] bzw. [mm] P_2' [/mm] aus auf dem Umfang ab. Nennen wir diese beiden neuen Punkte [mm] G_1 [/mm] und [mm] G_2. [/mm] Die gesuchte Gerade verläuft nun durch diese beiden Punkte.
So, und jetzt die Abkürzung:
Schlag einen Kreis mit dem Radius [mm] |\overline{s}| [/mm] um S. Dieser Kreis hat vier Schnittpunkte mit [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2. [/mm] Aber nur zwei davon [edit:(genauer: die beiden linken) - da hab' ich was übersehen!] liegen mit S auf einer Geraden, nämlich der gesuchten.
2nd edit: die Lage ist schwieriger. Der Grundansatz kann bleiben, aber es gibt Fälle, in denen das Verfahren wohl nicht zu einer Lösung führt. Allerdings gibt es dann Gründe, die einen alternativen Lösungsweg aufzeigen. Auf dem Weg der Berechnung zeigen sich Fallunterscheidungen, die ich vorher übersehen habe. Trotzdem bin ich sicher, dass Du mit den vorliegenden Hinweisen weiterkommst. Viel Erfolg dabei! Ich gehe jetzt endgültig schlafen, morgen habe ich kaum Zeit, mich um den Fortgang der Diskussion zu kümmern, wahrscheinlich erst nach 22h. Lesen werde ich die Diskussion dennoch; wie gesagt: schicke Aufgabe.
Das musst Du jetzt "nur noch" zeigen. Hättest Du nur die Abkürzung, wäre das wohl schwer, aber so müsstest Du es eigentlich hinkriegen, denke ich. Eine gute Skizze, ein paar Winkelhalbierende und ein paar dazugehörige Ähnlichkeitsbetrachtungen genügen.
Viel Erfolg!
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:36 Sa 28.11.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hey, sorry das ich jetzt erst antworte. hatte bissl viel um die ohren. aber an der lösung bin ich trotzdem noch interessiert.
ich hab das ganze mal nach deiner anleitung konstruiert, aber ich hab wohl einen der spezialfälle erwischt. bei mir erfüllt die gerade zwar die bedingung 2 gleich große teile auszuschneiden, aber die geht nicht mal annähernd durch s (abweichung zu groß für ungenauigkeit).
Konstruktion
mfg die Maxi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 06.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
