Nichtlineare Differentialgl. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Lösen sie die Differentialgleichung und das Anfangswertproblem:
[mm] y'=-2x*e^{y-1}
[/mm]
y(0)=1 |
Hallo,
ich habe Probleme damit, diese Aufgabe richtig zu lösen.
Ich zeige euch einmal, was ich gemacht habe, ich weiß aber, dass das falsch ist.
[mm] y'=-2x*e^{y-1}
[/mm]
[mm] \bruch{y'}{e^{y-1}}=-2x
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{y'}{e^{y-1}} dy}=\integral_{}^{}{-2x dx}
[/mm]
[mm] -e^{1-y}=-x^2+c
[/mm]
[mm] 1-y=ln(x^2+c)
[/mm]
[mm] y=1-ln(x^2+c)
[/mm]
y(0)=1 [mm] \gdw [/mm] c=1
Allerdings löst dieses y nicht die Differentialgleichung.
Wie muss ich das richtig machen?
Vielen Dank!
|
|
| |
|
Hallo,
> Lösen sie die Differentialgleichung und das
> Anfangswertproblem:
> [mm]y'=-2x*e^{y-1}[/mm]
> y(0)=1
> Hallo,
> ich habe Probleme damit, diese Aufgabe richtig zu lösen.
> Ich zeige euch einmal, was ich gemacht habe, ich weiß
> aber, dass das falsch ist.
Da weißt du mehr als wir. 
Will sagen: an dem, was du gepostet hast ist jedenfalls alles richtig.
> [mm]y'=-2x*e^{y-1}[/mm]
> [mm]\bruch{y'}{e^{y-1}}=-2x[/mm]
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{y'}{e^{y-1}} dy}=\integral_{}^{}{-2x dx}[/mm]
>
> [mm]-e^{1-y}=-x^2+c[/mm]
> [mm]1-y%3Dln(x%5E2%2Bc)[/mm]
> [mm]y=1-ln(x^2+c)[/mm]
> y(0)=1 [mm]\gdw[/mm] c=1
> Allerdings löst dieses y nicht die
> Differentialgleichung.
> Wie muss ich das richtig machen?
Da muss dir beim Ableiten oder Einsetzen ein Fehler unterlaufen sein. Es ist doch auf der einen Seite
[mm] y'=\left[1-ln(x^2+c)\right]'=\bruch{-2x}{x^2+c}
[/mm]
und auf der anderen Seite
[mm] -2x*e^{y-1}=-2x*e^{-ln(x^2+c)}=-2x*e^{ln(1/(x^2+c))}=\bruch{-2x}{x^2+c}
[/mm]
Also sind beide Seiten gleich, und das klappt für jedes reelle c (mit einem geeigneten Definitionsbereich natürlich), also auch für c=1. Und c=1 ist jedenfalls die richtige Konstante zu deinem AWP.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 So 07.09.2014 | | Autor: | RunOrVeith |
Ah mann bin ich doof!
Ich hatte schon jeden Schritt 3 mal überprüft und mich gewundert, was falsch ist...
Des Rätsels Lösung:
Ich habe nicht gemerkt, dass [mm] -ln(c+\bruch{x^2}{e}) [/mm] das gleiche ist, wie das, was ich herausbekommen habe, da das c ja noch nicht fest ist.
Manchmal steht man echt auf dem Schlauch!
Dankeschön!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 So 07.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo nochmal,
wie kommst du zu dem Term
[mm] c+x^2/e
[/mm]
im Logarithmus?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 So 07.09.2014 | | Autor: | RunOrVeith |
Das ist das, was Wolfram Alpha ausgibt, wenn man die Aufgabenstellung eingibt. Der zieht die 1 in den Logarithmus rein und das c ändert sich dann halt.
[mm] 1-log(x^2)=-log(\bruch{x^2}{e})=-(log(x^2)-log(e))=-log(x^2)+1
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 So 07.09.2014 | | Autor: | Diophant |
...so wird aus Gurkensalat, endlich der Essig erzeugt.
[Friedrich Schiller]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 So 07.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Lösen sie die Differentialgleichung und das
> Anfangswertproblem:
> [mm]y'=-2x*e^{y-1}[/mm]
> y(0)=1
> Hallo,
> ich habe Probleme damit, diese Aufgabe richtig zu lösen.
> Ich zeige euch einmal, was ich gemacht habe, ich weiß
> aber, dass das falsch ist.
> [mm]y'=-2x*e^{y-1}[/mm]
> [mm]\bruch{y'}{e^{y-1}}=-2x[/mm]
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{y'}{e^{y-1}} dy}=\integral_{}^{}{-2x dx}[/mm]
>
> [mm]-e^{1-y}=-x^2+c[/mm]
> [mm]1-y=ln(x^2+c)[/mm]
Hier liegt ein formaler Fehler vor, denn die Konstante "c" in der letzten Zeile ist nicht mehr dieselbe wie in der vorletzten Zeile.
Also entweder [mm]1-y=ln(x^2-c)[/mm] oder umbenennen, etwa [mm]1-y=ln(x^2+d)[/mm].
Das ändert aber nichts daran, dass deine Lösungsfunktion richtig ist, wie dir Diophant schon bestätigt hat.
Gruß RMix
> [mm]y=1-ln(x^2+c)[/mm]
> y(0)=1 [mm]\gdw[/mm] c=1
> Allerdings löst dieses y nicht die
> Differentialgleichung.
> Wie muss ich das richtig machen?
>
> Vielen Dank!
|
|
|
|
