Nichtsinguläre Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \beta [/mm] eine Bilinearform auf dem n-dimensionalen K-Vektorraum V.
Man zeige: ist [mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] ein System von Vektoren aus V, für das die m [mm] \times [/mm] m Matrix [mm] (\beta(v_{i},v_{j}))_{i,j} [/mm] nichtsingulär ist, so ist [mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] linear unabhängig. |
So, meine Überlegung war jetzt folgende:
nichtsingulär => invertierbar => voller Rang => die Spalten der Matrix sind linear unabhängige Vektoren.
Und jetzt kann man die Bilinearform [mm] \beta:V \times [/mm] V [mm] \to [/mm] K mit [mm] (v_{i},v_{j}) \mapsto [/mm] x zerlegen in einzelne lineare Abbildungen zum Beispiel [mm] \beta_{1}: (v_{i},v_{1}) \mapsto [/mm] x um die erste Spalte der Matrix zu kriegen. Habe ich das soweit richtig verstanden?
Ich habe dann versucht irgendwie mit der Gegenannahme, also oBdA [mm] v_{1} [/mm] =
[mm] \sum_{k=2}^{m} c_{k} \* v_{k} [/mm] mit [mm] c_{k} [/mm] irgendwelchen Koeffizienten aus K und nicht allen [mm] c_{k} [/mm] = 0 , sprich [mm] v_{1} [/mm] lässt sich aus den anderen Vektoren kombinieren. Leider schaffe ich es aber nicht davon dann darauf zu kommen, dass die Matrix nicht mehr ihren vollen Rang haben kann, denn dafür müsste ich ja eine Nullzeile oder -Spalte machen.
Oder bin ich vielleicht auch völlig auf dem falschen Dampfer?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 So 13.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei [mm]\beta[/mm] eine Bilinearform auf dem n-dimensionalen
> K-Vektorraum V.
> Man zeige: ist [mm]v_{1},...,v_{m}[/mm] ein System von Vektoren aus
> V, für das die m [mm]\times[/mm] m Matrix [mm](\beta(v_{i},v_{j}))_{i,j}[/mm]
> nichtsingulär ist, so ist [mm]v_{1},...,v_{m}[/mm] linear
> unabhängig.
Ich wuerd es anders machen: Bilinearformen kannst du ja ueber Matrizen darstellen, wenn du eine Basis von $V$ waehlst. Die Matrix aus der Aufgabenstellung kannst du jetzt als Produkt von $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen schreiben mit einer Matrix, die die Koordinaten der [mm] $v_i$ [/mm] in Bezug zu der gewaehlten Basis hat.
Diese Matrix mit den Koordinaten der [mm] $v_i$ [/mm] ist genau dann invertierbar, wenn [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] linear unabhaengig sind.
Damit kommst du weiter.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:27 Di 15.04.2008 | | Autor: | anjka82 |
Können Sie es noch genauer erklären?ich verstehe diese Aufgabe immer noch nicht:(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Di 15.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Können Sie es noch genauer erklären?ich verstehe diese
> Aufgabe immer noch nicht:(
Schreib doch mal hier hin, was du ueber die Darstellung von Bilinearformen ueber Matrizen weisst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Di 15.04.2008 | | Autor: | anjka82 |
(v1,....,vm) ist Basis von V.
Matrix von [mm] \beta [/mm] in Bezug auf Basis V ist
[mm] B=\pmat{ \beta(v1,v1) & \beta(v1,vm) \\ \beta(vm,v1) & \beta(vm,vm) }
[/mm]
Wie zeige ich , dass B nichtsingulär ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Di 15.04.2008 | | Autor: | anjka82 |
rang(B)=m, [mm] det(B)\not=0 \Rightarrow [/mm] B ist nichtsingulär odet?
ich komme leider nicht weiter:(
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Di 15.04.2008 | | Autor: | anjka82 |
keine Idee?
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siehe meine letzte Antwort!
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Hi,
> Sei [mm]\beta[/mm] eine Bilinearform auf dem n-dimensionalen
> K-Vektorraum V.
> Man zeige: ist [mm]v_{1},...,v_{m}[/mm] ein System von Vektoren aus
> V, für das die m [mm]\times[/mm] m Matrix [mm](\beta(v_{i},v_{j}))_{i,j}[/mm]
> nichtsingulär ist, so ist [mm]v_{1},...,v_{m}[/mm] linear
> unabhängig.
> So, meine Überlegung war jetzt folgende:
> nichtsingulär => invertierbar => voller Rang => die
> Spalten der Matrix sind linear unabhängige Vektoren.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Deine Überlegungen sind ganz richtig!
> Und jetzt kann man die Bilinearform [mm]\beta:V \times[/mm] V [mm]\to[/mm] K
> mit [mm](v_{i},v_{j}) \mapsto[/mm] x zerlegen in einzelne lineare
> Abbildungen zum Beispiel [mm]\beta_{1}: (v_{i},v_{1}) \mapsto[/mm]
> x um die erste Spalte der Matrix zu kriegen. Habe ich das
> soweit richtig verstanden?
>
Diese Idee kann man für den Beweis ausnutzen!
> Ich habe dann versucht irgendwie mit der Gegenannahme, also
> oBdA [mm]v_{1}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=2}^{m} c_{k} \* v_{k}[/mm] mit [mm]c_{k}[/mm] irgendwelchen
> Koeffizienten aus K und nicht allen [mm]c_{k}[/mm] = 0 , sprich
> [mm]v_{1}[/mm] lässt sich aus den anderen Vektoren kombinieren.
Wenn du o.B.d.A etwas annimst, dann nimmt doch etwas leichteres an, z.B. sei o.E. [mm] $v_1$ [/mm] ein Vielfaches von [mm] $v_2$, [/mm] und somit hast du ein linear abhängiges System von Vektoren [mm] $v_1,\cdots,v_m$.
[/mm]
> Leider schaffe ich es aber nicht davon dann darauf zu
> kommen, dass die Matrix nicht mehr ihren vollen Rang haben
> kann, denn dafür müsste ich ja eine Nullzeile oder -Spalte
> machen.
>
> Oder bin ich vielleicht auch völlig auf dem falschen
> Dampfer?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Also die Aussage kannst du am besten indirekt beweisen, d.h.:
Sei [mm] $v_1,\cdots,v_m$ [/mm] ein System von Vektoren aus $V$, für das die [mm] $m\times [/mm] m$-Matrix [mm] $(\beta(v_{i},v_{j}))_{i,j}$ [/mm] nichtsingulär ist.
Annahme: Das System [mm] $v_1,\cdots,v_m$ [/mm] ist linear abhängig.
Jetzt leiten wir einen Widerspruch aus unserer Annahme, woraus wir folgern können, dass unsere Annahme falsh war.
Die oben geschilderte Idee führt zum Ergebnis.
Tipp: Vergleiche Zeile1 und Zeile2, bzw. Spalte1 und Spalte2? Wie sehen die beiden Zeilen/Spalten aus, wenn [mm] $v_1 [/mm] = [mm] \lambda v_2$. [/mm] Welche Auswirkung hat das auf der Singularität (Rang) der Matrix?
Versuch das mal, und wenn du nicht weiter kommst, dann schreibe noch mal!
Gruss,
logarithmus
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:37 Mi 16.04.2008 | | Autor: | anjka82 |
kannst du es ausführlich erklären , wie ändert sich d. Rang?
Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 18.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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