Nilpotente Elemente, Primideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Sa 16.01.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei [mm] R(\not= \{0\}) [/mm] ein kommutativer Ring mit 1.
Warum entsprechen die Nilpotenten Elemente Nil(R) des Ringes R den Schnitt aller Primideale in R? |
Hallo
Es interessiert mich die Richtung [mm] \supseteq).
[/mm]
Sei a [mm] \not\in [/mm] Nil(R), d.h. [mm] \not\exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1: [mm] a^n [/mm] =0
ZZ.: Existiert ein Primideal P mit a [mm] \not\in [/mm] P
Ich habe versucht mit der multiplikativen Menge [mm] S:=\{a^n|n \in \mathbb{N}\} [/mm] etwas zu konstruieren, z.B.: mit [mm] S^{-1}R:=\{r/s| r \in R, x \in S\} [/mm] einen Teilring des Quotientenkörpers. Leider ohne Erfolg
Mir ist bekannt, dass die Menge der Nilpotenten Elemente Nil(R) ein Ideal von R bilden.
LG,
Sissi
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Hallo,
deine Idee ist doch genau richtig. Da $S$ nicht die Null enthält, ist die Lokalisierung nicht der Nullring. Du findest daher ein maximales Ideal, welches du nach $R$ zurückziehen kannst.
Beachte aber dass "Teilring des Quotientenkörpers" falsch ist. Weder muss $R$ einen Quotientenkörper haben, noch müssen irgendwelche Lokalisierungsabbildungen injektiv sein.
Wie so oft ist die Forderung [mm] $R\not=0$ [/mm] natürlich überflüssig.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:36 Di 19.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Beachte aber dass "Teilring des Quotientenkörpers" falsch
> ist. Weder muss [mm]R[/mm] einen Quotientenkörper haben, noch
> müssen irgendwelche Lokalisierungsabbildungen injektiv
> sein.
oder noch etwas spezifischer: falls $R$ einen Quotientenkörper hat, ist $R$ bereits ein Integritätsbereich und somit ist 0 das einzige nilpotente Element. Dieser Fall ist auch ziemlich langweilig 
LG Felix
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