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| Aufgabe | Sei A ∈ [mm] M_{n×n}(K) A=\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
(Unter der Diagonale 0, soll eine Diagonale mit 1 stehen). zu zeigen ist das A nilpotent ist. [mm] A^{n}=0 [/mm] |
Moin,
Ich will das ganze mit Induktion beweisen. Mir ist aufgefallen das mit wachsenden Exponent [mm] A^{2}, A^{3} [/mm] die Eins-Diagonale nach "unten links rückt".
Induktionsanfang: Für n=1 und n=2 ist es klar.
Induktionsschritt (n-1)->n hier komme ich nicht weiter.
mfg zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Di 02.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei A ∈ [mm]M_{n×n}(K) A=\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}[/mm]
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> (Unter der Diagonale 0, soll eine Diagonale mit 1 stehen).
> zu zeigen ist das A nilpotent ist. [mm]A^{n}=0[/mm]
> Moin,
>
> Ich will das ganze mit Induktion beweisen. Mir ist
> aufgefallen das mit wachsenden Exponent [mm]A^{2}, A^{3}[/mm] die
> Eins-Diagonale nach "unten links rückt".
> Induktionsanfang: Für n=1 und n=2 ist es klar.
> Induktionsschritt (n-1)->n hier komme ich nicht weiter.
>
> mfg zahlenfreund
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Ich wuerde ddas charakteristische polynom von A berechnen, das ist hier ganz einfach!
Dann ist zu empfehlen, Cayley- Hamilton zu bemuehen.
Fred
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Hallo Fred ,
Den Satz von cayley hatten wir in der Vorlesung noch nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Di 02.06.2015 | | Autor: | hippias |
Dann versuche eben etwas anderes. Du koenntest Deine Beobachtung zu den Potenzen der Matrix, dass die $1$en in [mm] $M^{k}$ [/mm] um $k$ Stellen nach links verschoben sind, mittels Induktion beweisen. Dann folgt automatisch, dass [mm] $M^{n}=0$ [/mm] ist.
Dafuer koennte es nuetzlich sein, ersteinmal $AM$ fuer eine beliebige [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix $A$ zu betrachten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Di 02.06.2015 | | Autor: | hippias |
Oder untersuche, was $M$ mit den Standardbasisvektoren macht.
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