Nilpotente Matrix & Projektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Do 07.06.2007 | | Autor: | Maeggie |
| Aufgabe | Eine quadratische Matrix A heißt nilpotent, wenn es eine positive ganze Zahl n mit [mm] A^n [/mm] = 0 gibt. Eine quadratische Matrix P heißt Projektor, wenn P² = P ist.
a) Welche Eigenwerte kann eine nilpotente Matrix haben?
b) Man zeige, dass Id-A für eine nilpotente Matrix A invertierbar ist, und bestimme (Id-A)^-1
c) Welche Eigenwerte kann ein Projektor haben?
d) Man zeige, dass: Id-P ein Projektor ist, wenn P ein Projektor ist! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab leider keine Idee wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen??
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> Eine quadratische Matrix A heißt nilpotent, wenn es eine
> positive ganze Zahl n mit [mm]A^n[/mm] = 0 gibt. Eine quadratische
> Matrix P heißt Projektor, wenn P² = P ist.
> a) Welche Eigenwerte kann eine nilpotente Matrix haben?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Lies Dir bitte die Forenregeln durch und beachte in Zukunft, daß Du eigene Überlegungen und Lösungsansätze mitposten sollst.
Sei [mm] \lambda [/mm] Eigenvert von A mit zugehörigem Eigenvektor v.
Berechne A^nv.
> b) Man zeige, dass Id-A für eine nilpotente Matrix A
> invertierbar ist, und bestimme (Id-A)^-1
Nimm an, daß Id-A nicht injektiv ist und führe das mithilfe von A zum Widerspruch.
Um die Inverse Matrix zu finden, ist es vielleicht hilfreich zu wissen, daß gelten muß
[mm] (Id-A)*?=Id=-A^n+id.
[/mm]
> c) Welche Eigenwerte kann ein Projektor haben?
Nimm an, daß [mm] \lambda [/mm] EW von V ist und v EV dazu.
Berechne p^2v.
> d) Man zeige, dass: Id-P ein Projektor ist, wenn P ein
> Projektor ist!
Wann ist q ein Projektor?
Nun prüfe diese Eigenschaft für q:=id-p.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Do 07.06.2007 | | Autor: | Maeggie |
die idee zu a) hatte ich auch,da es ja, meiner meinung nur so klappt, aber ich habe immer das problem, dass ich zwar ansätze habe, aber meine ausführung dann sehr mangelhaft ist.... deshalb bekomme ich bei der a) einfach keine brauchbaren ergebnisse raus.
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> die idee zu a) hatte ich auch,da es ja, meiner meinung nur
> so klappt, aber ich habe immer das problem, dass ich zwar
> ansätze habe, aber meine ausführung dann sehr mangelhaft
> ist.... deshalb bekomme ich bei der a) einfach keine
> brauchbaren ergebnisse raus.
Hallo,
mir dieser Information kann man nicht viel anfangen.
Zeig doch mal, was Du hast.
Nur so kann man sehen, ob ein gravierender Fehler drin ist, oder ob man nur alles richtig zusammensetzen muß.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 07.06.2007 | | Autor: | Maeggie |
mein problemist in diesem falle, dass mir A^nv nicht bekannt ist... ich habe versucht etwas zu dieser art der darstellung in meinen vorlesungsmitschriften zu finden, aber wir hatten diese form nicht behandelt... gibt es da eine andere art der darstellung?
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> mein problemist in diesem falle, dass mir A^nv nicht
> bekannt ist...
Ich hatte Dir doch folgenden Tip gegeben:
Nimm an, daß [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A ist mit zugehörigem Eigenvektor v.
Hieraus kannst Du durchaus [mm] A^n [/mm] v berechnen.
[mm] A^n=\underbrace{A*...*A}_{n-mal}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Maeggie |
Ich habe noch einmal eine frage zu d): Kann man Matrizen [mm] ((Id-P)^2) [/mm] ausrechnen? Gilt bei Matrizen die binomische Formel? Oder bin ich völlig auf dem falschen Weg?
Nochmal nur zur Kontrolle zu den anderen Aufgaben: a) da habe ich als Eigenwert nur 0 raus b) meine inverse matrix: [mm] (id+A+A^2+....+A^8n-1)
[/mm]
c) Eigenwerte sind 0 und 1
Stimmt das alles?
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> Ich habe noch einmal eine frage zu d): Kann man Matrizen
> [mm]((Id-P)^2)[/mm] ausrechnen?
Hallo,
ja, das kann man, jedenfalls dann, wenn id und P beides quadratische Matrizen sind.
> Gilt bei Matrizen die binomische
> Formel?
I.a. nein. Das hängt damit zusammen, daß die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist.
Aber auch, wenn die binomische Formel nicht gilt, kannst Du ja die Klammern auflösen, denn die Multiplikation ist distributiv.
[mm] (A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2.
[/mm]
>
> Nochmal nur zur Kontrolle zu den anderen Aufgaben: a) da
> habe ich als Eigenwert nur 0 raus b) meine inverse
> matrix: [mm](id+A+A^2+....+A^{n-1})[/mm]
> c) Eigenwerte sind 0 und 1
> Stimmt das alles?
Ja, alles richtig.
Gruß v. Angela
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