Nilpotente Matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Mi 16.04.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Eigenwerte einer nilpotenten Matrix A, d.h. einer Matrix mit [mm] A^n [/mm] = 0 für ein n [mm] \in \IN
[/mm]
(Rechtschreibfehler korrigiert) |
Kann mir evt. jemand sagen ob meine Lösung richtig ist? Ich vertraue der kürze der Lösung nicht so richtig. Wäre das erste mal das unser Prof uns nen 3Zeiler aufgibt. Danke im Vorraus
Aus [mm] A^n=0
[/mm]
=> [mm] X_{a}(\lambda)=det(\lambda*Id-A)=\lambda^n
[/mm]
=> [mm] A^n [/mm] hat den Eigenwert [mm] \lambda=0
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mi 16.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Aus [mm]A^n=0[/mm]
> => [mm]X_{a}(\lambda)=det(\lambda*Id-A)=\lambda^n[/mm]
Wie folgt das?
> => [mm]A^n[/mm] hat den Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:05 Do 17.04.2008 | | Autor: | maxi85 |
wenn ich das richtig verstanden habe müsste das das charakteristische polynom für nilpotente matritzen sein, wobei [mm] \lambda [/mm] die nullstellen sind.
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> wenn ich das richtig verstanden habe müsste das das
> charakteristische polynom für nilpotente matritzen sein,
> wobei [mm]\lambda[/mm] die nullstellen sind.
Hallo,
aber die Frage lautet: warum sollte das so sein?
Es stimmt übrigens auch nicht so ganz - hat aber einen dicken wahren Kern.
Du hast eine Matrix mit [mm] A^n=0, [/mm] oder machen wir's mal konkreter:
[mm] A^{4711}=0.
[/mm]
Es wäre nun doch noch interessant, ob die 4711 die erste Potenz ist, bei welcher 0 herauskommt, oder ob dies möglicherweise bereits bei 37 der Fall ist.
Überleg Dir zunächst mal, wie bei einre Matrix mit [mm] A^n=0 [/mm] das Minimalpolynom aussieht.
Dann denke über seine Nullstellen nach und darüber, was die mit der Matrix zu tun haben.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:17 Do 17.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Überleg Dir zunächst mal, wie bei einre Matrix mit [mm]A^n=0[/mm]
> das Minimalpolynom aussieht.
>
> Dann denke über seine Nullstellen nach und darüber, was die
> mit der Matrix zu tun haben.
Eigentlich auch ne schöne Idee, dass [mm] A^n=0 [/mm] auf das Minimalpolynom zurückzuführen.
Aber ich mein es ist halt überhaupt nicht so trivial, was die Nullstellen des Minimalpolynoms mit den Eigenwerten zu tun haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Do 17.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Es geht auch ganz ohne charakteristisches Polynome oder Minimalpolynom:
Sei [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor [mm] $v\ne0$, [/mm] sowie [mm] $n_0:=\min\{n\in\IN:A^n=0\}$. [/mm] Was folgt dann aus [mm] $Av=\lambda [/mm] v$ durch beidseitiges Anwenden von [mm] $A^{n_0-1}$? [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich zitiere eine Aussage mit deren Beweis:
Aussage: Ist eine quadratische Matrix nilpotent, so hat A nur den Eigenwert 0.
Beweis: Angenommen, es gäbe einen anderen Eigenwert [mm] \lambda \not= [/mm] 0 und zugehörigen Vektor [mm] \not= [/mm] 0 mit [mm] Av=\lambda [/mm] v .
Da A nilpotent ist, so gibt es ein [mm] j\in \IN [/mm] mit [mm] A^{j}=0 [/mm] und [mm] A^{j-1} \not= [/mm] 0. Damit folgt [mm] A^{j}v=A^{j-1}\lambda [/mm] v = [mm] \lambda^{j}v [/mm] also [mm] \lambda [/mm] =0 oder v=0 und dies ist ein Widerspruch.
Ich verstehe den Beweis so :
es kann keinen anderen Eigenwert geben ausser Null .
Meine Frage ist : muss A überhaupt einen Eigenwert haben?
(Wenn A einen hat , dann ist dieser Null (klar aus dem Beweis). )
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> muss A überhaupt einen Eigenwert haben?
Ja. Eine nilpotente Matrix kann nicht vollen Rang haben (wieso?). Also ist der Kern nicht-trivial und damit ist jedes Element dieses Kerns ein Eigenvektor zum Eigenwert 0.
EDIT: Wer lesen kann ist klar im Vorteil. Ich dachte der Beweis wäre nicht vollständig, ist er aber natürlich.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
Danke für die Antwort !
Ich werde zu Deiner zweiten Bemerkung noch Gedanken machen.
Zu Deiner ersten Bemerkung:
> Hi,
>
> > Damit folgt [mm] A^{j}v=A^{j-1}\lambda [/mm] v =0 also [mm]\lambda =0[/mm]
> oder v=0 und dies ist ein Widerspruch.
>
> Was ist mit [mm]A^{j-1}v=0[/mm]? Dafür müßte weder das eine noch
> das andere notwendigerweise 0 sein? =)
Es gilt [mm] A^{j}v=A^{j-1}\lambda [/mm] v = [mm] \lambda^{i}v=0, [/mm] deshalb muss [mm] \lambda [/mm] oder v Null sein.
Also [mm] \lambda^{i}v=0 [/mm] ist ausschlaggebend für [mm] \lambda [/mm] =0 oder v=0.
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Blech |
Verdammt, ich dachte ich hätte es gerade noch rechtzeitig geändert. Muß fast zeitgleich gewesen sein. =)
Ich hatte das [mm] "$=\lambda^jv$" [/mm] am Ende übersehen.
ciao
Stefan
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