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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Mo 20.10.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | sei [mm] q:\IR^3->\IR, q(x,y,z)=x^2+ay^2+bz^2, a,b\in\IR.
[/mm]
beschreibe im fall a=1 die unterschiedlichen fasern abhängig von b:
[mm] 1)q^{-1}(\{0\})
[/mm]
[mm] 2)q^{-1}(\{d\}),d<0
[/mm]
[mm] 3)q^{-1}(\{e\}),e>0 [/mm] |
hey ho :)
also wenn ich vom 1. die urbildmenge betrachte, muss ich ja schauen für welche x,y,z und b die gleichung:
[mm] x^2+y^2+b*z^2=0 [/mm] ja gelöst wird und stellt fest, b<0 muss gelten. so kommt man letzendlich zu [mm] x^2+y^2=bz^2.
[/mm]
<=> [mm] y=\wurzel[2]{bz^2-x^2} [/mm] beschreibt ja einen doppelkegel mit spitze bei (0,0,0). das b dient ja nur zur streckung/stauchung des kegels.
nur: wie kann ich jetz die fasern beschreiben?
danke schonma im voraus :)
lg und schönen abend noch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 20.10.2008 | | Autor: | eumel |
oder ist das bei der aufgabe so, dass für
[mm] q^{-1}({ 0 }) [/mm] -> die kegeloberfläche beschrieben wird
[mm] q^{-1}({ d }) [/mm] -> das innere des kegels gemeint ist
[mm] q^{-1}({ e }) [/mm] -> das äußere des kegels? [mm] \IR^3 [/mm] \ { [mm] (x,y,z)\in\IR^3|x^2+y^2+bz^2<=0, b\in\IR [/mm] } also einfach [mm] \IR^3 [/mm] ohne den kegel und seinem inneren....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:44 Di 21.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> oder ist das bei der aufgabe so, dass für
> [mm]q^{-1}(\{ 0 \})[/mm] -> die kegeloberfläche beschrieben wird
> [mm]q^{-1}(\{ d \})[/mm] -> das innere des kegels gemeint ist
> [mm]q^{-1}(\{ e \})[/mm] -> das äußere des kegels?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , aber nur für $b<0$, für [mm] $b\ge0$ [/mm] musst du nochmal überlegen!
> [mm]\IR^3\{(x,y,z)\in\IR^3|x^2+y^2+bz^2<=0, b\in\IR\}[/mm] also einfach
> [mm]\IR^3[/mm] ohne den kegel und seinem inneren....
Den Satz verstehe ich nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Di 21.10.2008 | | Autor: | eumel |
hallo rainerS,
dass für b<0 dann [mm] q^{-1}({ e }) [/mm] das äußere des kegels beschreibt, stimmt?
da hab ich nämlich nomma ne frage zu..
für b=0:
- 1. faser: [mm] x^2+y^2=0 [/mm] -> x=y=0, z egal, könnte das die höhe sein?
- 2. faser: [mm] x^2+y^2<0 [/mm] -> die inneren kreisflächen des kegels
- 3. faser: [mm] x^2+y^2>0 [/mm] -> alles außer den nullpunkt
b>0:
- 1. faser: [mm] x^2+y^2=-bz^2 [/mm] -> nur für x=y=z=0 lösbar, aber welche geom. bedeutung?
- 2. faser: [mm] x^2+y^2<-bz^2 [/mm] -> geht für kein [mm] x\in\IR^3 [/mm]
- 3. faser: [mm] x^2+y^2>-bz^2 [/mm] -> gilt doch für alle [mm] x\in\IR^3?
[/mm]
stimmt das in etwa oder totale katastrophe? ^^
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mi 22.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hallo rainerS,
>
> dass für b<0 dann [mm]q^{-1}({ e })[/mm] das äußere des kegels
> beschreibt, stimmt?
Ja.
> da hab ich nämlich nomma ne frage zu..
> für b=0:
> - 1. faser: [mm]x^2+y^2=0[/mm] -> x=y=0, z egal, könnte das die höhe sein?
Was meinst du mit Höhe? Frage dich: wie sieht die Punktmenge [mm] $\{(0,0,z)\mid z\in\IR\}$ [/mm] aus?
> - 2. faser: [mm]x^2+y^2<0[/mm] -> die inneren kreisflächen des kegels
Für welche Werte von x und y gilt denn [mm]x^2+y^2<0[/mm]?
> - 3. faser: [mm]x^2+y^2>0[/mm] -> alles außer den nullpunkt
Du solltest dir wirklich mal genau hinschreiben, was du meinst: [mm] $x^2+y^2=e>0$. [/mm] Welche Werte von z sind möglich? Wie sieht diese Menge von Punkten aus?
> b>0:
> - 1. faser: [mm]x^2+y^2=-bz^2[/mm] -> nur für x=y=z=0 lösbar, aber welche geom. bedeutung?
Tja, wie sieht die Punktmenge aus, die x=y=z=0 erfüllt?
> - 2. faser: [mm]x^2+y^2<-bz^2[/mm] -> geht für kein [mm]x\in\IR^3[/mm]
> - 3. faser: [mm]x^2+y^2>-bz^2[/mm] -> gilt doch für alle [mm]x\in\IR^3?[/mm]
Wieder: das ist nicht die Bedingung, sondern: [mm] $x^2+y^2= [/mm] e [mm] -bz^2$ [/mm] mit $e>0$.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:40 Di 21.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> sei [mm]q:\IR^3->\IR, q(x,y,z)=x^2+ay^2+bz^2, a,b\in\IR.[/mm]
>
> beschreibe im fall a=1 die unterschiedlichen fasern
> abhängig von b:
> [mm]1)q^{-1}(\{0\})[/mm]
> [mm]2)q^{-1}(\{d\}),d<0[/mm]
> [mm]3)q^{-1}(\{e\}),e>0[/mm]
> hey ho :)
>
> also wenn ich vom 1. die urbildmenge betrachte, muss ich ja
> schauen für welche x,y,z und b die gleichung:
> [mm]x^2+y^2+b*z^2=0[/mm] ja gelöst wird und stellt fest, b<0 muss
> gelten. so kommt man letzendlich zu [mm]x^2+y^2=bz^2.[/mm]
Also erst einmal kommt man zu [mm]x^2+y^2=\red{-}bz^2[/mm].
Diese Gleichung hat auch für [mm] $b\ge [/mm] 0$ Lösungen, nur nicht so viele. Du sollst hier alle Fälle unterscheiden.
> <=> [mm]y=\wurzel[2]{bz^2-x^2}[/mm] beschreibt ja einen doppelkegel
> mit spitze bei (0,0,0). das b dient ja nur zur
> streckung/stauchung des kegels.
>
> nur: wie kann ich jetz die fasern beschreiben?
Für $b<0$ hast du das schon getan: es ist ein Doppelkegel.
Viele Grüße
Rainer
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